微积分学示例

$f (x) = 136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [136 x^{7}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $136$ 对于 $x$ 是常数，所以 $136 x^{7}$ 对 $x$ 的导数是 $136 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 。

$136 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$136 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $7$ 乘以 $136$ 。

$952 x^{6} + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $576$ 对于 $x$ 是常数，所以 $576 x^{7} \ln (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$ 。

$952 x^{6} + 576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$

解题步骤 1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = \ln (3 x)$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 1.3.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 1.3.3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 1.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.3.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.3.8

组合 $\frac{1}{3 x}$ 和 $3$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.3.9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.9.1

约去公因数。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.3.9.2

重写表达式。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.3.10

组合 $x^{7}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.3.11

约去 $x^{7}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.11.1

从 $x^{7}$ 中分解出因数 $x$ 。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.3.11.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.3.11.2.3

约去公因数。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.3.11.2.4

重写表达式。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.3.11.2.5

用 $x^{6}$ 除以 $1$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{6} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 576 (\ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $7$ 乘以 $576$ 。

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 4032 (\ln (3 x) (x^{6}))$

解题步骤 1.4.2.2

将 $952 x^{6}$ 和 $576 x^{6}$ 相加。

$1528 x^{6} + 4032 \ln (3 x) x^{6}$

解题步骤 1.4.3

重新排序项。

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1528 x^{6}] + \frac{d}{d x} [4032 x^{6} \ln (3 x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1528 x^{6}) + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [1528 x^{6}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $1528$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1528 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $1528 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$f'' (x) = 1528 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$f'' (x) = 1528 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

解题步骤 2.2.3

将 $6$ 乘以 $1528$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + \frac{d}{d x} (4032 x^{6} \ln (3 x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4032 x^{6} \ln (3 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4032$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4032 x^{6} \ln (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $4032 \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (3 x)]$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 \frac{d}{d x} (x^{6} \ln (3 x))$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = \ln (3 x)$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} \frac{d}{d x} (\ln (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

解题步骤 2.3.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot \frac{d}{d x} (3 x)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

解题步骤 2.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} (x^{6}))$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.3.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.3.8

组合 $\frac{1}{3 x}$ 和 $3$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{3}{3 x}) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.3.9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.9.1

约去公因数。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{3}{3 x}) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.3.9.2

重写表达式。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{6} (\frac{1}{x}) + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.3.10

组合 $x^{6}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x^{6}}{x} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.3.11

约去 $x^{6}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.11.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.3.11.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.3.11.2.3

约去公因数。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.3.11.2.4

重写表达式。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (\frac{x^{5}}{1} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.3.11.2.5

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 (x^{5} + \ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 x^{5} + 4032 (\ln (3 x) (6 x^{5}))$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $6$ 乘以 $4032$ 。

$f'' (x) = 9168 x^{5} + 4032 x^{5} + 24192 (\ln (3 x) (x^{5}))$

解题步骤 2.4.2.2

将 $9168 x^{5}$ 和 $4032 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = 13200 x^{5} + 24192 \ln (3 x) x^{5}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = 13200 x^{5} + 24192 x^{5} \ln (3 x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x) = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [136 x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [136 x^{7}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $136$ 对于 $x$ 是常数，所以 $136 x^{7}$ 对 $x$ 的导数是 $136 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 。

$136 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$136 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $7$ 乘以 $136$ 。

$952 x^{6} + \frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [576 x^{7} \ln (3 x)]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $576$ 对于 $x$ 是常数，所以 $576 x^{7} \ln (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$ 。

$952 x^{6} + 576 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (3 x)]$

解题步骤 4.1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = \ln (3 x)$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 4.1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 4.1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 4.1.3.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 4.1.3.3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 4.1.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 4.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

解题步骤 4.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.3.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.3.8

组合 $\frac{1}{3 x}$ 和 $3$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.3.9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.9.1

约去公因数。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.3.9.2

重写表达式。

$952 x^{6} + 576 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.3.10

组合 $x^{7}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.3.11

约去 $x^{7}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.11.1

从 $x^{7}$ 中分解出因数 $x$ 。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.3.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.3.11.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.3.11.2.3

约去公因数。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.3.11.2.4

重写表达式。

$952 x^{6} + 576 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.3.11.2.5

用 $x^{6}$ 除以 $1$ 。

$952 x^{6} + 576 (x^{6} + \ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

运用分配律。

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 576 (\ln (3 x) (7 x^{6}))$

解题步骤 4.1.4.2

合并项。

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解题步骤 4.1.4.2.1

将 $7$ 乘以 $576$ 。

$952 x^{6} + 576 x^{6} + 4032 (\ln (3 x) (x^{6}))$

解题步骤 4.1.4.2.2

将 $952 x^{6}$ 和 $576 x^{6}$ 相加。

$1528 x^{6} + 4032 \ln (3 x) x^{6}$

解题步骤 4.1.4.3

重新排序项。

$f' (x) = 1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$ 。

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x)$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x) = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$1528 x^{6} + 4032 x^{6} \ln (3 x) = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $1528 x^{6}$ 。

$4032 x^{6} \ln (3 x) = - 1528 x^{6}$

解题步骤 5.3

将 $4032 x^{6} \ln (3 x) = - 1528 x^{6}$ 中的每一项除以 $4032 x^{6}$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $4032 x^{6} \ln (3 x) = - 1528 x^{6}$ 中的每一项都除以 $4032 x^{6}$ 。

$\frac{4032 x^{6} \ln (3 x)}{4032 x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $4032$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4032 x^{6} \ln (3 x)}{4032 x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x^{6} \ln (3 x)}{x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{6} \ln (3 x)}{x^{6}} = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $\ln (3 x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (3 x) = \frac{- 1528 x^{6}}{4032 x^{6}}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

约去 $- 1528$ 和 $4032$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

从 $- 1528 x^{6}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\ln (3 x) = \frac{8 (- 191 x^{6})}{4032 x^{6}}$

解题步骤 5.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

从 $4032 x^{6}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\ln (3 x) = \frac{8 (- 191 x^{6})}{8 (504 x^{6})}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

约去公因数。

$\ln (3 x) = \frac{8 (- 191 x^{6})}{8 (504 x^{6})}$

解题步骤 5.3.3.1.2.3

重写表达式。

$\ln (3 x) = \frac{- 191 x^{6}}{504 x^{6}}$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$\ln (3 x) = \frac{- 191 x^{6}}{504 x^{6}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

重写表达式。

$\ln (3 x) = \frac{- 191}{504}$

解题步骤 5.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (3 x) = - \frac{191}{504}$

解题步骤 5.4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{191}{504}}$

解题步骤 5.5

使用对数的定义将 $\ln (3 x) = - \frac{191}{504}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{191}{504}} = 3 x$

解题步骤 5.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将方程重写为 $3 x = e^{- \frac{191}{504}}$ 。

$3 x = e^{- \frac{191}{504}}$

解题步骤 5.6.2

将 $3 x = e^{- \frac{191}{504}}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.6.2.1

将 $3 x = e^{- \frac{191}{504}}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{191}{504}}}{3}$

解题步骤 5.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{191}{504}}}{3}$

解题步骤 5.6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{e^{- \frac{191}{504}}}{3}$

解题步骤 5.6.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.2.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- \frac{191}{504}}$ 移动到分母。

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\ln (3 x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 x \leq 0$

解题步骤 6.2

将 $3 x \leq 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $3 x \leq 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{0}{3}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x \leq 0$

解题步骤 6.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$13200 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 9.1.1.1

对 $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ 运用乘积法则。

$13200 \frac{1^{5}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.1.2

对 $3 e^{\frac{191}{504}}$ 运用乘积法则。

$13200 \frac{1^{5}}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.2

一的任意次幂都为一。

$13200 \frac{1}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.3

化简分母。

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解题步骤 9.1.3.1

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$13200 \frac{1}{243 {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.3.2

将 ${(e^{\frac{191}{504}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$13200 \frac{1}{243 e^{\frac{191}{504} \cdot 5}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.3.2.2

乘以 $\frac{191}{504} \cdot 5$ 。

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解题步骤 9.1.3.2.2.1

组合 $\frac{191}{504}$ 和 $5$ 。

$13200 \frac{1}{243 e^{\frac{191 \cdot 5}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.3.2.2.2

将 $191$ 乘以 $5$ 。

$13200 \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.4.1

从 $13200$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (4400) \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.4.2

从 $243 e^{\frac{955}{504}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (4400) \frac{1}{3 (81 e^{\frac{955}{504}})} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.4.3

约去公因数。

$3 \cdot 4400 \frac{1}{3 (81 e^{\frac{955}{504}})} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.4.4

重写表达式。

$4400 \frac{1}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.5

组合 $4400$ 和 $\frac{1}{81 e^{\frac{955}{504}}}$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{5} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 9.1.6.1

对 $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ 运用乘积法则。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1^{5}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.6.2

对 $3 e^{\frac{191}{504}}$ 运用乘积法则。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1^{5}}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{3^{5} {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.8

化简分母。

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解题步骤 9.1.8.1

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 {(e^{\frac{191}{504}})}^{5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.8.2

将 ${(e^{\frac{191}{504}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.1.8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 e^{\frac{191}{504} \cdot 5}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.8.2.2

乘以 $\frac{191}{504} \cdot 5$ 。

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解题步骤 9.1.8.2.2.1

组合 $\frac{191}{504}$ 和 $5$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 e^{\frac{191 \cdot 5}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.8.2.2.2

将 $191$ 乘以 $5$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 24192 \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.9

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.9.1

从 $24192$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 27 (896) \frac{1}{243 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.9.2

从 $243 e^{\frac{955}{504}}$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 27 (896) \frac{1}{27 (9 e^{\frac{955}{504}})} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.9.3

约去公因数。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 27 \cdot 896 \frac{1}{27 (9 e^{\frac{955}{504}})} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.9.4

重写表达式。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + 896 \frac{1}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.10

组合 $896$ 和 $\frac{1}{9 e^{\frac{955}{504}}}$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 9.1.11

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.11.1

约去公因数。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})$

解题步骤 9.1.11.2

重写表达式。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{191}{504}}})$

解题步骤 9.1.12

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{\frac{191}{504}}$ 移动到分子。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \ln (e^{- \frac{191}{504}})$

解题步骤 9.1.13

通过将 $- \frac{191}{504}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- \frac{191}{504}})$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} (- \frac{191}{504} \ln (e))$

解题步骤 9.1.14

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} (- \frac{191}{504} \cdot 1)$

解题步骤 9.1.15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} (- \frac{191}{504})$

解题步骤 9.1.16

约去 $56$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.16.1

将 $- \frac{191}{504}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{896}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

解题步骤 9.1.16.2

从 $896$ 中分解出因数 $56$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{56 (16)}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

解题步骤 9.1.16.3

从 $504$ 中分解出因数 $56$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{56 \cdot 16}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{56 \cdot 9}$

解题步骤 9.1.16.4

约去公因数。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{56 \cdot 16}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{56 \cdot 9}$

解题步骤 9.1.16.5

重写表达式。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{16}{9 e^{\frac{955}{504}}} \cdot \frac{- 191}{9}$

解题步骤 9.1.17

将 $\frac{16}{9 e^{\frac{955}{504}}}$ 乘以 $\frac{- 191}{9}$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{16 \cdot - 191}{9 e^{\frac{955}{504}} \cdot 9}$

解题步骤 9.1.18

将 $16$ 乘以 $- 191$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{- 3056}{9 e^{\frac{955}{504}} \cdot 9}$

解题步骤 9.1.19

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} + \frac{- 3056}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

解题步骤 9.1.20

将负号移到分数的前面。

$\frac{4400}{81 e^{\frac{955}{504}}} - \frac{3056}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

解题步骤 9.2

化简项。

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解题步骤 9.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{4400 - 3056}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

解题步骤 9.2.2

从 $4400$ 中减去 $3056$ 。

$\frac{1344}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

解题步骤 9.2.3

从 $1344$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (448)}{81 e^{\frac{955}{504}}}$

解题步骤 9.3

约去公因数。

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解题步骤 9.3.1

从 $81 e^{\frac{955}{504}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (448)}{3 (27 e^{\frac{955}{504}})}$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 448}{3 (27 e^{\frac{955}{504}})}$

解题步骤 9.3.3

重写表达式。

$\frac{448}{27 e^{\frac{955}{504}}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.1.1.1

对 $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1^{7}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.1.2

对 $3 e^{\frac{191}{504}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1^{7}}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.3

化简分母。

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解题步骤 11.2.1.3.1

对 $3$ 进行 $7$ 次方运算。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.3.2

将 ${(e^{\frac{191}{504}})}^{7}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.2.1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{504} \cdot 7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.3.2.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.3.2.2.1

从 $504$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 (72)} \cdot 7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.3.2.2.2

约去公因数。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 \cdot 72} \cdot 7}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.3.2.2.3

重写表达式。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = 136 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}) + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.4

组合 $136$ 和 $\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 {(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}})}^{7} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.1.5.1

对 $\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1^{7}}{{(3 e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.5.2

对 $3 e^{\frac{191}{504}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1^{7}}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.6

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{3^{7} {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.7

化简分母。

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解题步骤 11.2.1.7.1

对 $3$ 进行 $7$ 次方运算。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 {(e^{\frac{191}{504}})}^{7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.7.2

将 ${(e^{\frac{191}{504}})}^{7}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.2.1.7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{504} \cdot 7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.7.2.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.7.2.2.1

从 $504$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 (72)} \cdot 7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.7.2.2.2

约去公因数。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{7 \cdot 72} \cdot 7}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.7.2.2.3

重写表达式。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 576 (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.8

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.8.1

从 $576$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 9 (64) (\frac{1}{2187 e^{\frac{191}{72}}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.8.2

从 $2187 e^{\frac{191}{72}}$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 9 (64) (\frac{1}{9 (243 e^{\frac{191}{72}})}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.8.3

约去公因数。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 9 \cdot (64 (\frac{1}{9 (243 e^{\frac{191}{72}})})) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.8.4

重写表达式。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + 64 (\frac{1}{243 e^{\frac{191}{72}}}) \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.9

组合 $64$ 和 $\frac{1}{243 e^{\frac{191}{72}}}$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.10

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.10.1

约去公因数。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}))$

解题步骤 11.2.1.10.2

重写表达式。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{191}{504}}})$

解题步骤 11.2.1.11

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{\frac{191}{504}}$ 移动到分子。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \ln (e^{- \frac{191}{504}})$

解题步骤 11.2.1.12

通过将 $- \frac{191}{504}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- \frac{191}{504}})$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot (- \frac{191}{504} \cdot \ln (e))$

解题步骤 11.2.1.13

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot (- \frac{191}{504} \cdot 1)$

解题步骤 11.2.1.14

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot (- \frac{191}{504})$

解题步骤 11.2.1.15

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.15.1

将 $- \frac{191}{504}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{64}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

解题步骤 11.2.1.15.2

从 $64$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 (8)}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{504}$

解题步骤 11.2.1.15.3

从 $504$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 \cdot 8}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{8 \cdot 63}$

解题步骤 11.2.1.15.4

约去公因数。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 \cdot 8}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{8 \cdot 63}$

解题步骤 11.2.1.15.5

重写表达式。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8}{243 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{- 191}{63}$

解题步骤 11.2.1.16

将 $\frac{8}{243 e^{\frac{191}{72}}}$ 乘以 $\frac{- 191}{63}$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{8 \cdot - 191}{243 e^{\frac{191}{72}} \cdot 63}$

解题步骤 11.2.1.17

将 $8$ 乘以 $- 191$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{- 1528}{243 e^{\frac{191}{72}} \cdot 63}$

解题步骤 11.2.1.18

将 $63$ 乘以 $243$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} + \frac{- 1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 11.2.1.19

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 11.2.2

要将 $\frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 11.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15309 e^{\frac{191}{72}}$ 的形式。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $\frac{136}{2187 e^{\frac{191}{72}}}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136 \cdot 7}{2187 e^{\frac{191}{72}} \cdot 7} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $7$ 乘以 $2187$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136 \cdot 7}{15309 e^{\frac{191}{72}}} - \frac{1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 11.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{136 \cdot 7 - 1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 11.2.5

化简分子。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $136$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{952 - 1528}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 11.2.5.2

从 $952$ 中减去 $1528$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{- 576}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 11.2.6

从 $- 576$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{9 (- 64)}{15309 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 11.2.7

约去公因数。

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解题步骤 11.2.7.1

从 $15309 e^{\frac{191}{72}}$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{9 (- 64)}{9 (1701 e^{\frac{191}{72}})}$

解题步骤 11.2.7.2

约去公因数。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{9 \cdot - 64}{9 (1701 e^{\frac{191}{72}})}$

解题步骤 11.2.7.3

重写表达式。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = \frac{- 64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 11.2.8

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}) = - \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 11.2.9

最终答案为 $- \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$ 。

$y = - \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = 136 x^{7} + 576 x^{7} \ln (3 x)$ 的局部极值。

$(\frac{1}{3 e^{\frac{191}{504}}}, - \frac{64}{1701 e^{\frac{191}{72}}})$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例