微积分学示例

$f (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.3.3

将 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.4.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.5

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.5.2

从 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

从 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.5.2.2

从 $- 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.5.2.3

从 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.6

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

从 ${(x^{2} - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.6.2

约去公因数。

$- 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.6.3

重写表达式。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.7

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.10

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.15

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$- 2 \frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.16

组合 $- 2$ 和 $\frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ 。

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.17

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.18

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.18.1

运用分配律。

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.18.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.18.2.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.18.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 6 x^{2} - 2$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{2}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot 2}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (- 6 x^{2} - 2) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $- 6 x^{2} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x + \frac{d}{d x} (- 2)) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x + 0) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.7

将 $- 12 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - (- 6 x^{2} - 2) (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.2

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.5.2

将 $2$ 移到 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 3 (- 6 x^{2} - 2) (2 \cdot ({(x^{2} - 1)}^{2} x))}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.5.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \cdot 0$

解题步骤 2.5.7

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.7.1

将 $\frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}} + 0$

解题步骤 2.5.7.2

将 $- \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) - 6 (- 6 x^{2} - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) ({(x^{2} - 1)}^{2} x)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.1

从 ${(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.1.1

从 ${(x^{2} - 1)}^{3} (- 12 x)$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.1.2

从 $(- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2) {(x^{2} - 1)}^{2} x$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + {(x^{2} - 1)}^{2} x (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.1.3

从 ${(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12)) + {(x^{2} - 1)}^{2} x (- 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)$ 中分解出因数 ${(x^{2} - 1)}^{2} x$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} - 1^{2})}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{((x + 1) (x - 1))}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.4

对 $(x + 1) (x - 1)$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) - 6 (- 6 x^{2}) - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.5

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.5.1

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) + 36 x^{2} - 6 \cdot - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.5.2

将 $- 6$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x ((x^{2} - 1) \cdot (- 12) + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.6

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.6.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} \cdot - 12 - 1 \cdot - 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.6.2

将 $- 12$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (- 12 \cdot x^{2} - 1 \cdot - 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.6.3

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (- 12 x^{2} + 12 + 36 x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.7

将 $- 12 x^{2}$ 和 $36 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 x^{2} + 12 + 12)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.8

将 $12$ 和 $12$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 x^{2} + 24)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.9

从 $24 x^{2} + 24$ 中分解出因数 $24$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.9.1

从 $24 x^{2}$ 中分解出因数 $24$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2}) + 24)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.9.2

从 $24$ 中分解出因数 $24$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2}) + 24 (1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.2.9.3

从 $24 (x^{2}) + 24 (1)$ 中分解出因数 $24$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (24 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x \cdot (24 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.3

将 $24$ 移到 ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.4

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{6}}$

解题步骤 2.6.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{6}}$

解题步骤 2.6.4.3

对 $(x + 1) (x - 1)$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = - \frac{24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.5

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 和 ${(x + 1)}^{6}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.5.1

从 $24 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.5.2.1

从 ${(x + 1)}^{6} {(x - 1)}^{6}$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6})}$

解题步骤 2.6.5.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{{(x + 1)}^{2} (24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6})}$

解题步骤 2.6.5.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.6

约去 ${(x - 1)}^{2}$ 和 ${(x - 1)}^{6}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.6.1

从 $24 {(x - 1)}^{2} x (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 ${(x - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}}$

解题步骤 2.6.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.6.2.1

从 ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{6}$ 中分解出因数 ${(x - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4})}$

解题步骤 2.6.6.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{{(x - 1)}^{2} (24 x (x^{2} + 1))}{{(x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4})}$

解题步骤 2.6.6.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{24 x (x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 4

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 5

不存在局部极值

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例