微积分学示例

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 4$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin^{2} (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.6

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1

移动 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = 6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.6.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = 6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.7

将 $- 1$ 移到 $\sin^{3} (x)$ 的左侧。

$f'' (x) = 6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.8

将 $- 1 \sin^{3} (x)$ 重写为 $- \sin^{3} (x)$ 。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

解题步骤 2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

解题步骤 2.4.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = - 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = - 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 4

从 $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ 中分解出因数 $3 \cos (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

从 $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $3 \cos (x)$ 。

$3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

解题步骤 4.2

从 $3 \cos (x)$ 中分解出因数 $3 \cos (x)$ 。

$3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.3

从 $3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $3 \cos (x)$ 。

$3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

解题步骤 6

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 6.2.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 6.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.2.5

方程 $x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 7

将 $2 \sin^{2} (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $2 \sin^{2} (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \sin^{2} (x) = - 1$

解题步骤 7.2.2

将 $2 \sin^{2} (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

将 $2 \sin^{2} (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 7.2.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sin (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 重写为 $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2.4.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.4.2

从根式下提出各项。

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.4.3

一的任意次幂都为一。

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2.4.4

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.6

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 7.2.4.7

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.4.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.7.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.7.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 7.2.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.2.4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 7.2.4.7.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.2.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.2.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.2.4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.4.7.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.2.4.7.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 7.2.4.7.6.5

计算指数。

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.4.8

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.7

在 $\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.2.7.2

$\arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 7.2.8

在 $\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.2.8.2

$\arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 7.2.9

列出所有解。

无解

解题步骤 8

最终解为使 $3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$12 \cdot 0^{2} \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 \cdot 0 \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.3

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 \cdot 1 - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.7

一的任意次幂都为一。

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.8

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$0 - 6 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10.1.9

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

解题步骤 10.1.10

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$0 - 6 - 3$

解题步骤 10.2

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$- 6 - 3$

解题步骤 10.2.2

从 $- 6$ 中减去 $3$ 。

$- 9$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = \frac{π}{2}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{2}) + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

解题步骤 12.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

解题步骤 12.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

解题步骤 12.2.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

解题步骤 12.2.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 3 \cdot 1 + 4$

解题步骤 12.2.1.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 3 + 4$

解题步骤 12.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.2.1

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$f (\frac{π}{2}) = 5 + 4$

解题步骤 12.2.2.2

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$f (\frac{π}{2}) = 9$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $9$ 。

$y = 9$

解题步骤 13

计算在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$12 \cdot 0^{2} \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 \cdot 0 \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.4

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$0 (- \sin (\frac{π}{2})) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.7

乘以 $0 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 \cdot - 1 - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.7.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$0 - 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{3} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.9

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.11

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.12

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 6 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14.1.13

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$0 + 6 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 14.1.14

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 14.1.15

乘以 $- 3 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.15.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.1.15.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 6 + 3$

解题步骤 14.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$6 + 3$

解题步骤 14.2.2

将 $6$ 和 $3$ 相加。

$9$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 16

求 $x = \frac{3 π}{2}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

解题步骤 16.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{3} + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

解题步骤 16.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

解题步骤 16.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

解题步骤 16.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

解题步骤 16.2.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

解题步骤 16.2.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

解题步骤 16.2.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

解题步骤 16.2.1.8

乘以 $3 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 \cdot - 1 + 4$

解题步骤 16.2.1.8.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 3 + 4$

解题步骤 16.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.2.1

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 + 4$

解题步骤 16.2.2.2

将 $- 5$ 和 $4$ 相加。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

解题步骤 16.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 4$ 的局部极值。

$(\frac{π}{2}, 9)$ 是一个局部最大值

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ 是一个局部最小值

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例