微积分学示例

$f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

化简项。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

解题步骤 1.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

解题步骤 1.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2}}{16}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

解题步骤 1.1.4

约去 $2$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

解题步骤 1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

解题步骤 1.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

解题步骤 1.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{8}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{8} (2 x)$

解题步骤 1.4

化简项。

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解题步骤 1.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{2}{8} x$

解题步骤 1.4.2

组合 $\frac{2}{8}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{8}$

解题步骤 1.4.3

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x)}{8}$

解题步骤 1.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{x}{4}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot 1$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x}{4} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

化简项。

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解题步骤 4.1.1.1

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

解题步骤 4.1.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

解题步骤 4.1.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2}}{16}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

解题步骤 4.1.1.4

约去 $2$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.4.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

解题步骤 4.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.1.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

解题步骤 4.1.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

解题步骤 4.1.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{8}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{8} (2 x)$

解题步骤 4.1.4

化简项。

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解题步骤 4.1.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{2}{8} x$

解题步骤 4.1.4.2

组合 $\frac{2}{8}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{8}$

解题步骤 4.1.4.3

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x)}{8}$

解题步骤 4.1.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.4.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.4.3.2.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x}{4}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x}{4}$ 。

$\frac{x}{4}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x}{4} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x}{4} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 10

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 2 {(\frac{0}{4})}^{2}$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$f (0) = 2 \cdot 0^{2}$

解题步骤 10.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 2 \cdot 0$

解题步骤 10.2.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 10.2.4

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 11

这些是 $f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最小值

解题步骤 12

微积分学 示例

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