微积分学示例

$f (x) = x^{3} a t^{2}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $a t^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{3} a t^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $a t^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$a t^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$a t^{2} (3 x^{2})$

解题步骤 1.3

重新排序。

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解题步骤 1.3.1

将 $3$ 移到 $a t^{2}$ 的左侧。

$3 \cdot (a t^{2}) x^{2}$

解题步骤 1.3.2

重新排序 $3 a t^{2} x^{2}$ 的因式。

$3 t^{2} x^{2} a$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $3 t^{2} a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 t^{2} x^{2} a$ 对 $x$ 的导数是 $3 t^{2} a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 t^{2} a \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 t^{2} a (2 x)$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 t^{2} a x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 t^{2} x^{2} a = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

因为 $a t^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{3} a t^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $a t^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$a t^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$a t^{2} (3 x^{2})$

解题步骤 4.1.3

重新排序。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $3$ 移到 $a t^{2}$ 的左侧。

$3 \cdot (a t^{2}) x^{2}$

解题步骤 4.1.3.2

重新排序 $3 a t^{2} x^{2}$ 的因式。

$f' (x) = 3 t^{2} x^{2} a$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 t^{2} x^{2} a$ 。

$3 t^{2} x^{2} a$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 t^{2} x^{2} a = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 t^{2} x^{2} a = 0$

解题步骤 5.2

将 $3 t^{2} x^{2} a = 0$ 中的每一项除以 $3 t^{2} a$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $3 t^{2} x^{2} a = 0$ 中的每一项都除以 $3 t^{2} a$ 。

$\frac{3 t^{2} x^{2} a}{3 t^{2} a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 t^{2} x^{2} a}{3 t^{2} a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

解题步骤 5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{t^{2} x^{2} a}{t^{2} a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{t^{2} x^{2} a}{t^{2} a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

解题步骤 5.2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} a}{a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

解题步骤 5.2.2.3

约去 $a$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} a}{a} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

解题步骤 5.2.2.3.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{3 t^{2} a}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} = \frac{3 (0)}{3 t^{2} a}$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

从 $3 t^{2} a$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} = \frac{3 (0)}{3 (t^{2} a)}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{2} = \frac{3 \cdot 0}{3 (t^{2} a)}$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{2} = \frac{0}{t^{2} a}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $0$ 除以 $t^{2} a$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.4

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 t^{2} a (0)$

解题步骤 9

乘以 $6 t^{2} a (0)$ 。

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解题步骤 9.1

将 $0$ 乘以 $6$ 。

$0 t^{2} a$

解题步骤 9.2

将 $0$ 乘以 $t^{2}$ 。

$0 a$

解题步骤 9.3

将 $0$ 乘以 $a$ 。

$0$

解题步骤 10

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 11

微积分学 示例

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