微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 3 x^{3} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $12 x^{2} - 18 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 3 x^{3} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 5.2

使用有理根检验法因式分解 $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 5.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 5.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 5.2.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$4 \cdot 2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 4$

解题步骤 5.2.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 8 - 9 \cdot 2^{2} + 4$

解题步骤 5.2.3.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$32 - 9 \cdot 2^{2} + 4$

解题步骤 5.2.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$32 - 9 \cdot 4 + 4$

解题步骤 5.2.3.5

将 $- 9$ 乘以 $4$ 。

$32 - 36 + 4$

解题步骤 5.2.3.6

从 $32$ 中减去 $36$ 。

$- 4 + 4$

解题步骤 5.2.3.7

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$0$

解题步骤 5.2.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} + 4}{x - 2}$

解题步骤 5.2.5

用 $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ 除以 $x - 2$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 5.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

解题步骤 5.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

解题步骤 5.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} - 8 x^{2}$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

解题步骤 5.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 5.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 5.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 5.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 5.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} + 2 x$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 5.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$

解题步骤 5.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$

解题步骤 5.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$

解题步骤 5.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$
							-	$2 x$	+	$4$

解题步骤 5.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x + 4$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$
							+	$2 x$	-	$4$

解题步骤 5.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$
							+	$2 x$	-	$4$
										$0$

解题步骤 5.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$4 x^{2} - x - 2$

解题步骤 5.2.6

将 $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ 书写为因数的集合。

$(x - 2) (4 x^{2} - x - 2) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$4 x^{2} - x - 2 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 5.5

将 $4 x^{2} - x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $4 x^{2} - x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} - x - 2 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $4 x^{2} - x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 4$ 、 $b = - 1$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 2)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

将 $1$ 和 $32$ 相加。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.3

将 $1$ 和 $32$ 相加。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.3

将 $1$ 和 $32$ 相加。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 5.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $(x - 2) (4 x^{2} - x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 8

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(2)}^{2} - 18 \cdot 2$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \cdot 4 - 18 \cdot 2$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$48 - 18 \cdot 2$

解题步骤 9.1.3

将 $- 18$ 乘以 $2$ 。

$48 - 36$

解题步骤 9.2

从 $48$ 中减去 $36$ 。

$12$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{3} + 4 (2)$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (2) = 16 - 3 {(2)}^{3} + 4 (2)$

解题步骤 11.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = 16 - 3 \cdot 8 + 4 (2)$

解题步骤 11.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$f (2) = 16 - 24 + 4 (2)$

解题步骤 11.2.1.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 16 - 24 + 8$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $16$ 中减去 $24$ 。

$f (2) = - 8 + 8$

解题步骤 11.2.2.2

将 $- 8$ 和 $8$ 相加。

$f (2) = 0$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{2} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ 运用乘积法则。

$12 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{8^{2}} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3) \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.3.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.3.3

约去公因数。

$4 \cdot 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.3.4

重写表达式。

$3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.4

组合 $3$ 和 $\frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{3 {(1 + \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.5

将 ${(1 + \sqrt{33})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33})$ 。

$\frac{3 ((1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33})$ 。

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解题步骤 13.1.6.1

运用分配律。

$\frac{3 (1 (1 + \sqrt{33}) + \sqrt{33} (1 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.6.2

运用分配律。

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} (1 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.6.3

运用分配律。

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.7.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.7.1.2

将 $\sqrt{33}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.7.1.3

将 $\sqrt{33}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.7.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33 \cdot 33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.7.1.5

将 $33$ 乘以 $33$ 。

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{1089})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.7.1.6

将 $1089$ 重写为 $33^{2}$ 。

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33^{2}})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.7.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + 33)}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.7.2

将 $1$ 和 $33$ 相加。

$\frac{3 (34 + \sqrt{33} + \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.7.3

将 $\sqrt{33}$ 和 $\sqrt{33}$ 相加。

$\frac{3 (34 + 2 \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.8

约去 $34 + 2 \sqrt{33}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.8.1

从 $3 (34 + 2 \sqrt{33})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (17 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.8.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (17 + \sqrt{33}))}{2 (8)} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 (17 + \sqrt{33}))}{2 \cdot 8} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.8.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.9.1

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + 2 (- 9) \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.1.9.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 + \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 13.1.9.3

约去公因数。

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 + \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 13.1.9.4

重写表达式。

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - 9 \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

解题步骤 13.1.10

组合 $- 9$ 和 $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ 。

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + \frac{- 9 (1 + \sqrt{33})}{4}$

解题步骤 13.1.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4}$

解题步骤 13.2

要将 $- \frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 13.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 13.3.1

将 $\frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{4 \cdot 2}$

解题步骤 13.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 13.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (17 + \sqrt{33}) - 9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 13.5

化简分子。

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解题步骤 13.5.1

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 17 + 3 \sqrt{33} - 9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 13.5.2

将 $3$ 乘以 $17$ 。

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 13.5.3

运用分配律。

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} + (- 9 \cdot 1 - 9 \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 13.5.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} + (- 9 - 9 \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 13.5.5

运用分配律。

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 9 \cdot 2 - 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

解题步骤 13.5.6

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 18 - 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

解题步骤 13.5.7

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 18 - 18 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.5.8

从 $51$ 中减去 $18$ 。

$\frac{33 + 3 \sqrt{33} - 18 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 13.5.9

从 $3 \sqrt{33}$ 中减去 $18 \sqrt{33}$ 。

$\frac{33 - 15 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{4} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{4}}{8^{4}} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.2

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.4.1

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1 \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.4

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 {\sqrt{33}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.6

将 ${\sqrt{33}}^{2}$ 重写为 $33$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{33}$ 重写成 $33^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.6.4.1

约去公因数。

解题步骤 15.2.1.4.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.6.5

计算指数。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.7

将 $6$ 乘以 $33$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 {\sqrt{33}}^{3} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.9

将 ${\sqrt{33}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{33^{3}}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{33^{3}} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.10

对 $33$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{35937} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.11

将 $35937$ 重写为 $33^{2} \cdot 33$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.11.1

从 $35937$ 中分解出因数 $1089$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{1089 (33)} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.11.2

将 $1089$ 重写为 $33^{2}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{33^{2} \cdot 33} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.12

从根式下提出各项。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (33 \sqrt{33}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.13

将 $33$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.14

将 ${\sqrt{33}}^{4}$ 重写为 $33^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{33}$ 重写成 $33^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + {(33^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{4}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.14.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.14.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{2}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.4.15

对 $33$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.5

将 $1$ 和 $198$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{199 + 4 \sqrt{33} + 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.6

将 $199$ 和 $1089$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 + 4 \sqrt{33} + 132 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.7

将 $4 \sqrt{33}$ 和 $132 \sqrt{33}$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 + 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.8

约去 $1288 + 136 \sqrt{33}$ 和 $4096$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.8.1

从 $1288$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) + 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.8.2

从 $136 \sqrt{33}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) + 8 (17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.8.3

从 $8 (161) + 8 (17 \sqrt{33})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 + 17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.8.4.1

从 $4096$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 + 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.8.4.2

约去公因数。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 + 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.8.4.3

重写表达式。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.9

对 $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{3}}{8^{3}} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.10

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.11

使用二项式定理。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.12.1

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1 \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 {\sqrt{33}}^{2} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.5

将 ${\sqrt{33}}^{2}$ 重写为 $33$ 。

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解题步骤 15.2.1.12.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{33}$ 重写成 $33^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.12.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.5.5

计算指数。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.6

将 $3$ 乘以 $33$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.7

将 ${\sqrt{33}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{33^{3}}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{33^{3}}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.8

对 $33$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{35937}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.9

将 $35937$ 重写为 $33^{2} \cdot 33$ 。

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解题步骤 15.2.1.12.9.1

从 $35937$ 中分解出因数 $1089$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{1089 (33)}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.9.2

将 $1089$ 重写为 $33^{2}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{33^{2} \cdot 33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.12.10

从根式下提出各项。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.13

将 $1$ 和 $99$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 + 3 \sqrt{33} + 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.14

将 $3 \sqrt{33}$ 和 $33 \sqrt{33}$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 + 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.15

约去 $100 + 36 \sqrt{33}$ 和 $512$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.15.1

从 $100$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) + 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.15.2

从 $36 \sqrt{33}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) + 4 (9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.15.3

从 $4 (25) + 4 (9 \sqrt{33})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 + 9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.15.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.15.4.1

从 $512$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 + 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.15.4.2

约去公因数。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 + 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.15.4.3

重写表达式。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{25 + 9 \sqrt{33}}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.16

组合 $- 3$ 和 $\frac{25 + 9 \sqrt{33}}{128}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} + \frac{- 3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.17

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{(3) (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 15.2.1.18

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.18.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{4 (2)})$

解题步骤 15.2.1.18.2

约去公因数。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{4 \cdot 2})$

解题步骤 15.2.1.18.3

重写表达式。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $\frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - (\frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ 乘以 $\frac{256}{256}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \cdot \frac{256}{256}$

解题步骤 15.2.2.4

将 $\frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ 乘以 $\frac{256}{256}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

解题步骤 15.2.2.5

重新排序 $128 \cdot 4$ 的因式。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

解题步骤 15.2.2.6

将 $4$ 乘以 $128$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

解题步骤 15.2.2.7

将 $2$ 乘以 $256$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

运用分配律。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} + (- 3 \cdot 25 - 3 (9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 3$ 乘以 $25$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} + (- 75 - 3 (9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 15.2.4.3

将 $9$ 乘以 $- 3$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} + (- 75 - 27 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 15.2.4.4

运用分配律。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 75 \cdot 4 - 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 15.2.4.5

将 $- 75$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 15.2.4.6

将 $4$ 乘以 $- 27$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 15.2.4.7

运用分配律。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + 1 \cdot 256 + \sqrt{33} \cdot 256}{512}$

解题步骤 15.2.4.8

将 $256$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + 256 + \sqrt{33} \cdot 256}{512}$

解题步骤 15.2.4.9

将 $256$ 移到 $\sqrt{33}$ 的左侧。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + 256 + 256 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 15.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 15.2.5.1

从 $161$ 中减去 $300$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{- 139 + 17 \sqrt{33} - 108 \sqrt{33} + 256 + 256 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 15.2.5.2

将 $- 139$ 和 $256$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 + 17 \sqrt{33} - 108 \sqrt{33} + 256 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 15.2.5.3

从 $17 \sqrt{33}$ 中减去 $108 \sqrt{33}$ 。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 - 91 \sqrt{33} + 256 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 15.2.5.4

将 $- 91 \sqrt{33}$ 和 $256 \sqrt{33}$ 相加。

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 + 165 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $\frac{117 + 165 \sqrt{33}}{512}$ 。

$y = \frac{117 + 165 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 16

计算在 $x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{2} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

对 $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ 运用乘积法则。

$12 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{8^{2}} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3) \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.3.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.3.3

约去公因数。

$4 \cdot 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.3.4

重写表达式。

$3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.4

组合 $3$ 和 $\frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{3 {(1 - \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.5

将 ${(1 - \sqrt{33})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33})$ 。

$\frac{3 ((1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33})$ 。

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解题步骤 17.1.6.1

运用分配律。

$\frac{3 (1 (1 - \sqrt{33}) - \sqrt{33} (1 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.6.2

运用分配律。

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} (1 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.6.3

运用分配律。

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 17.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.7.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.2

将 $- \sqrt{33}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.4

乘以 $- \sqrt{33} (- \sqrt{33})$ 。

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解题步骤 17.1.7.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 1 \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.4.2

将 $\sqrt{33}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.4.3

对 $\sqrt{33}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.4.4

对 $\sqrt{33}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1} {\sqrt{33}}^{1})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1 + 1})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{2})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.5

将 ${\sqrt{33}}^{2}$ 重写为 $33$ 。

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解题步骤 17.1.7.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{33}$ 重写成 $33^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {(33^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{2}})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.7.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{2}})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{1})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.1.5.5

计算指数。

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33)}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.2

将 $1$ 和 $33$ 相加。

$\frac{3 (34 - \sqrt{33} - \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.7.3

从 $- \sqrt{33}$ 中减去 $\sqrt{33}$ 。

$\frac{3 (34 - 2 \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.8

约去 $34 - 2 \sqrt{33}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.8.1

从 $3 (34 - 2 \sqrt{33})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (17 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 17.1.8.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (17 - \sqrt{33}))}{2 (8)} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 (17 - \sqrt{33}))}{2 \cdot 8} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.8.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.9.1

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + 2 (- 9) \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.1.9.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 - \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 17.1.9.3

约去公因数。

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 - \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 17.1.9.4

重写表达式。

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - 9 \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

解题步骤 17.1.10

组合 $- 9$ 和 $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ 。

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + \frac{- 9 (1 - \sqrt{33})}{4}$

解题步骤 17.1.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4}$

解题步骤 17.2

要将 $- \frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 17.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 17.3.1

将 $\frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{4 \cdot 2}$

解题步骤 17.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 17.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (17 - \sqrt{33}) - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 17.5

化简分子。

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解题步骤 17.5.1

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 17 + 3 (- \sqrt{33}) - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 17.5.2

将 $3$ 乘以 $17$ 。

$\frac{51 + 3 (- \sqrt{33}) - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 17.5.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 17.5.4

运用分配律。

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} + (- 9 \cdot 1 - 9 (- \sqrt{33})) \cdot 2}{8}$

解题步骤 17.5.5

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} + (- 9 - 9 (- \sqrt{33})) \cdot 2}{8}$

解题步骤 17.5.6

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} + (- 9 + 9 \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

解题步骤 17.5.7

运用分配律。

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 9 \cdot 2 + 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

解题步骤 17.5.8

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 18 + 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

解题步骤 17.5.9

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 18 + 18 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.5.10

从 $51$ 中减去 $18$ 。

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} + 18 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 17.5.11

将 $- 3 \sqrt{33}$ 和 $18 \sqrt{33}$ 相加。

$\frac{33 + 15 \sqrt{33}}{8}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{4} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

对 $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{4}}{8^{4}} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.2

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{33})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.4.1

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{33})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{33})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 (- \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.5

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 {(- \sqrt{33})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.7

对 $- \sqrt{33}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 (1 {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.9

将 ${\sqrt{33}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 {\sqrt{33}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.10

将 ${\sqrt{33}}^{2}$ 重写为 $33$ 。

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解题步骤 19.2.1.4.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{33}$ 重写成 $33^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.4.10.4.1

约去公因数。

解题步骤 19.2.1.4.10.4.2

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.10.5

计算指数。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.11

将 $6$ 乘以 $33$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.12

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 {(- \sqrt{33})}^{3} + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.13

对 $- \sqrt{33}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{33}}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- {\sqrt{33}}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.15

将 ${\sqrt{33}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{33^{3}}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{33^{3}}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.16

对 $33$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{35937}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.17

将 $35937$ 重写为 $33^{2} \cdot 33$ 。

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解题步骤 19.2.1.4.17.1

从 $35937$ 中分解出因数 $1089$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{1089 (33)}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.17.2

将 $1089$ 重写为 $33^{2}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{33^{2} \cdot 33}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.18

从根式下提出各项。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- (33 \sqrt{33})) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.19

将 $33$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- 33 \sqrt{33}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.20

将 $- 33$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.21

对 $- \sqrt{33}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.22

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 1 {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.23

将 ${\sqrt{33}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.24

将 ${\sqrt{33}}^{4}$ 重写为 $33^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.4.24.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{33}$ 重写成 $33^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {(33^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.24.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.24.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{4}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.24.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.4.24.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.24.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{2}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.4.25

对 $33$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.5

将 $1$ 和 $198$ 相加。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{199 - 4 \sqrt{33} - 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.6

将 $199$ 和 $1089$ 相加。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 - 4 \sqrt{33} - 132 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.7

从 $- 4 \sqrt{33}$ 中减去 $132 \sqrt{33}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 - 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.8

约去 $1288 - 136 \sqrt{33}$ 和 $4096$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.8.1

从 $1288$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) - 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.8.2

从 $- 136 \sqrt{33}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) + 8 (- 17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.8.3

从 $8 (161) + 8 (- 17 \sqrt{33})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 - 17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.8.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.8.4.1

从 $4096$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 - 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.8.4.2

约去公因数。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 - 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.8.4.3

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.9

对 $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{3}}{8^{3}} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.10

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.11

使用二项式定理。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{33})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.12.1

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{33})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{33})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 (- \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 {(- \sqrt{33})}^{2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.6

对 $- \sqrt{33}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.8

将 ${\sqrt{33}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 {\sqrt{33}}^{2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.9

将 ${\sqrt{33}}^{2}$ 重写为 $33$ 。

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解题步骤 19.2.1.12.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{33}$ 重写成 $33^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.12.9.4.1

约去公因数。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.9.4.2

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.9.5

计算指数。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.10

将 $3$ 乘以 $33$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.11

对 $- \sqrt{33}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.13

将 ${\sqrt{33}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{33^{3}}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{33^{3}}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.14

对 $33$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{35937}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.15

将 $35937$ 重写为 $33^{2} \cdot 33$ 。

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解题步骤 19.2.1.12.15.1

从 $35937$ 中分解出因数 $1089$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{1089 (33)}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.15.2

将 $1089$ 重写为 $33^{2}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{33^{2} \cdot 33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.16

从根式下提出各项。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - (33 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.12.17

将 $33$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.13

将 $1$ 和 $99$ 相加。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 - 3 \sqrt{33} - 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.14

从 $- 3 \sqrt{33}$ 中减去 $33 \sqrt{33}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 - 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.15

约去 $100 - 36 \sqrt{33}$ 和 $512$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.15.1

从 $100$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) - 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.15.2

从 $- 36 \sqrt{33}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) + 4 (- 9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.15.3

从 $4 (25) + 4 (- 9 \sqrt{33})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 - 9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.15.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.15.4.1

从 $512$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 - 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.15.4.2

约去公因数。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 - 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.15.4.3

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{25 - 9 \sqrt{33}}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.16

组合 $- 3$ 和 $\frac{25 - 9 \sqrt{33}}{128}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} + \frac{- 3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.17

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{(3) (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

解题步骤 19.2.1.18

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.18.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{4 (2)})$

解题步骤 19.2.1.18.2

约去公因数。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{4 \cdot 2})$

解题步骤 19.2.1.18.3

重写表达式。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$

解题步骤 19.2.2

求公分母。

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解题步骤 19.2.2.1

将 $\frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - (\frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$

解题步骤 19.2.2.2

将 $\frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$

解题步骤 19.2.2.3

将 $\frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ 乘以 $\frac{256}{256}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 - \sqrt{33}}{2} \cdot \frac{256}{256}$

解题步骤 19.2.2.4

将 $\frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ 乘以 $\frac{256}{256}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

解题步骤 19.2.2.5

重新排序 $128 \cdot 4$ 的因式。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

解题步骤 19.2.2.6

将 $4$ 乘以 $128$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

解题步骤 19.2.2.7

将 $2$ 乘以 $256$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 19.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 19.2.4

化简每一项。

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解题步骤 19.2.4.1

运用分配律。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} + (- 3 \cdot 25 - 3 (- 9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 19.2.4.2

将 $- 3$ 乘以 $25$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} + (- 75 - 3 (- 9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 19.2.4.3

将 $- 9$ 乘以 $- 3$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} + (- 75 + 27 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 19.2.4.4

运用分配律。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 75 \cdot 4 + 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 19.2.4.5

将 $- 75$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 19.2.4.6

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

解题步骤 19.2.4.7

运用分配律。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + 1 \cdot 256 - \sqrt{33} \cdot 256}{512}$

解题步骤 19.2.4.8

将 $256$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + 256 - \sqrt{33} \cdot 256}{512}$

解题步骤 19.2.4.9

将 $256$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + 256 - 256 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 19.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 19.2.5.1

从 $161$ 中减去 $300$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{- 139 - 17 \sqrt{33} + 108 \sqrt{33} + 256 - 256 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 19.2.5.2

将 $- 139$ 和 $256$ 相加。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 - 17 \sqrt{33} + 108 \sqrt{33} - 256 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 19.2.5.3

将 $- 17 \sqrt{33}$ 和 $108 \sqrt{33}$ 相加。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 + 91 \sqrt{33} - 256 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 19.2.5.4

从 $91 \sqrt{33}$ 中减去 $256 \sqrt{33}$ 。

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 - 165 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 19.2.6

最终答案为 $\frac{117 - 165 \sqrt{33}}{512}$ 。

$y = \frac{117 - 165 \sqrt{33}}{512}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x$ 的局部极值。

$(2, 0)$ 是一个局部最小值

$(\frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{117 + 165 \sqrt{33}}{512})$ 是一个局部最大值

$(\frac{1 - \sqrt{33}}{8}, \frac{117 - 165 \sqrt{33}}{512})$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例