微积分学示例

$f (x) = 6 x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $6 x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.6.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.7

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$6 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.8

组合 $6$ 和 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{6 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.9

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\frac{24 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.10

从 $24 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.11

约去公因数。

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解题步骤 1.2.11.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.11.2

约去公因数。

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.11.3

重写表达式。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.11.4

用 $8 x^{\frac{1}{3}}$ 除以 $1$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.3.5

在公分母上合并分子。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.3.7

将负号移到分数的前面。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.3.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.3.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.3.11

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.3.12

约去公因数。

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解题步骤 1.3.12.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 1.3.12.2

约去公因数。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.3.12.3

重写表达式。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.3.13

将负号移到分数的前面。

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.7

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.9

组合 $8$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.6

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.6.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.6.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.10

化简分子。

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解题步骤 2.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.10.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.11

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.12

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.13

组合 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.14

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.14.1

移动 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.14.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.14.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.14.4

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.14.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.16

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.17

将 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.18

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.3.19

将 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $6 x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.5

在公分母上合并分子。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.6.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.7

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$6 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.8

组合 $6$ 和 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{6 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.9

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\frac{24 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.10

从 $24 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.11

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.11.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.11.2

约去公因数。

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.11.3

重写表达式。

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2.11.4

用 $8 x^{\frac{1}{3}}$ 除以 $1$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 4.1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 4.1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.1.3.5

在公分母上合并分子。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.1.3.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 4.1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 4.1.3.7

将负号移到分数的前面。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 4.1.3.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 4.1.3.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 4.1.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.3.11

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.3.12

约去公因数。

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解题步骤 4.1.3.12.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 4.1.3.12.2

约去公因数。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.3.12.3

重写表达式。

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.3.13

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 5.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{\frac{2}{3}}, 1$

解题步骤 5.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3

将 $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.3.1

将 $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$8 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$8 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3.2.1.1.3

在公分母上合并分子。

$8 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3.2.1.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$8 x^{\frac{3}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3.2.1.1.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$8 x^{1} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3.2.1.2

化简 $8 x^{1}$ 。

$8 x - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3.2.1.3

约去 $x^{\frac{2}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.3.1

将 $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 中前置负号移到分子中。

$8 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3.2.1.3.2

约去公因数。

$8 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3.2.1.3.3

重写表达式。

$8 x - 1 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$8 x - 1 = 0$

解题步骤 5.4

求解方程。

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解题步骤 5.4.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$8 x = 1$

解题步骤 5.4.2

将 $8 x = 1$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $8 x = 1$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

解题步骤 5.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

解题步骤 5.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{8}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$8 \sqrt[3]{x^{1}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$8 \sqrt[3]{x^{1}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 6.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$8 \sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$x^{2} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.3.3.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.3.3.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.3.3.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{1}{8}, 0$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{1}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

化简分母。

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解题步骤 9.1.1.1

对 $\frac{1}{8}$ 运用乘积法则。

$\frac{8}{3 \frac{1^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{8}{3 \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.1.3

化简分母。

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解题步骤 9.1.1.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{8}{3 \frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{8}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.1.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.3.3.1

约去公因数。

$\frac{8}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.1.3.3.2

重写表达式。

$\frac{8}{3 \frac{1}{2^{2}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.1.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8}{3 (\frac{1}{4})} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{8}{\frac{3}{4}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$8 (\frac{4}{3}) + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.4

乘以 $8 (\frac{4}{3})$ 。

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解题步骤 9.1.4.1

组合 $8$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{8 \cdot 4}{3} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.4.2

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.5

化简分母。

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解题步骤 9.1.5.1

对 $\frac{1}{8}$ 运用乘积法则。

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 9.1.5.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{8^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 9.1.5.3

化简分母。

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解题步骤 9.1.5.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{5}{3}}}}$

解题步骤 9.1.5.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{5}{3})}}}$

解题步骤 9.1.5.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.5.3.3.1

约去公因数。

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{5}{3})}}}$

解题步骤 9.1.5.3.3.2

重写表达式。

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{2^{5}}}$

解题步骤 9.1.5.3.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 (\frac{1}{32})}$

解题步骤 9.1.6

组合 $3$ 和 $\frac{1}{32}$ 。

$\frac{32}{3} + \frac{2}{\frac{3}{32}}$

解题步骤 9.1.7

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{32}{3} + 2 (\frac{32}{3})$

解题步骤 9.1.8

乘以 $2 (\frac{32}{3})$ 。

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解题步骤 9.1.8.1

组合 $2$ 和 $\frac{32}{3}$ 。

$\frac{32}{3} + \frac{2 \cdot 32}{3}$

解题步骤 9.1.8.2

将 $2$ 乘以 $32$ 。

$\frac{32}{3} + \frac{64}{3}$

解题步骤 9.2

合并分数。

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解题步骤 9.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{32 + 64}{3}$

解题步骤 9.2.2

化简表达式。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $32$ 和 $64$ 相加。

$\frac{96}{3}$

解题步骤 9.2.2.2

用 $96$ 除以 $3$ 。

$32$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{1}{8}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1}{8}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{1}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{1}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{8}) = 6 {(\frac{1}{8})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $\frac{1}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{8^{\frac{4}{3}}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.3

化简分母。

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解题步骤 11.2.1.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{2^{3 (\frac{4}{3})}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.3.3.1

约去公因数。

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{2^{3 (\frac{4}{3})}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.3.3.2

重写表达式。

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{2^{4}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.3.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{16}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1}{8}) = 2 (3) (\frac{1}{16}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.4.2

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1}{8}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.4.3

约去公因数。

$f (\frac{1}{8}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.4.4

重写表达式。

$f (\frac{1}{8}) = 3 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.5

组合 $3$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.6

对 $\frac{1}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1^{\frac{1}{3}}}{8^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.2.1.7

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.2.1.8

化简分母。

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解题步骤 11.2.1.8.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.2.1.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{2^{3 (\frac{1}{3})}}$

解题步骤 11.2.1.8.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.8.3.1

约去公因数。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{2^{3 (\frac{1}{3})}}$

解题步骤 11.2.1.8.3.2

重写表达式。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 (\frac{1}{2})$

解题步骤 11.2.1.8.4

计算指数。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 (\frac{1}{2})$

解题步骤 11.2.1.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} + \frac{- 3}{2}$

解题步骤 11.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{2}$

解题步骤 11.2.2

要将 $- \frac{3}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 11.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 4}{8}$

解题步骤 11.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3 - 3 \cdot 4}{8}$

解题步骤 11.2.5

化简分子。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3 - 12}{8}$

解题步骤 11.2.5.2

从 $3$ 中减去 $12$ 。

$f (\frac{1}{8}) = \frac{- 9}{8}$

解题步骤 11.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{8}) = - \frac{9}{8}$

解题步骤 11.2.7

最终答案为 $- \frac{9}{8}$ 。

$y = - \frac{9}{8}$

解题步骤 12

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8}{3 {(0)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简表达式。

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解题步骤 13.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$\frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$\frac{8}{3 \cdot 0^{2}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.3

化简表达式。

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解题步骤 13.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{8}{3 \cdot 0} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.3.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{8}{0} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{8}{0} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 14

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 14.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{8}) \cup (\frac{1}{8}, \infty)$

解题步骤 14.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 14.2.2

最终答案为 $8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 14.3

将区间 $(0, \frac{1}{8})$ 内的任一数字（例如 $0.06$ ）代入一阶导数 $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.3.1

使用表达式中的 $0.06$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.06) = 8 {(0.06)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(0.06)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 14.3.2

化简结果。

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解题步骤 14.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.3.2.1.1

对 $0.06$ 进行 $\frac{1}{3}$ 次方运算。

$f' (0.06) = 8 \cdot 0.39148676 - \frac{1}{{(0.06)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 14.3.2.1.2

将 $8$ 乘以 $0.39148676$ 。

$f' (0.06) = 3.13189411 - \frac{1}{{(0.06)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 14.3.2.1.3

对 $0.06$ 进行 $\frac{2}{3}$ 次方运算。

$f' (0.06) = 3.13189411 - \frac{1}{0.15326188}$

解题步骤 14.3.2.1.4

用 $1$ 除以 $0.15326188$ 。

$f' (0.06) = 3.13189411 - 1 \cdot 6.5247794$

解题步骤 14.3.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $6.5247794$ 。

$f' (0.06) = 3.13189411 - 6.5247794$

解题步骤 14.3.2.2

从 $3.13189411$ 中减去 $6.5247794$ 。

$f' (0.06) = - 3.39288528$

解题步骤 14.3.2.3

最终答案为 $- 3.39288528$ 。

$- 3.39288528$

解题步骤 14.4

将区间 $(\frac{1}{8}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = 8 {(3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 14.4.2

化简结果。

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解题步骤 14.4.2.1

去掉圆括号。

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 14.4.2.2

最终答案为 $8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$ 。

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 14.5

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 14.6

由于一阶导数在 $x = \frac{1}{8}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{1}{8}$ 是极小值。

$x = \frac{1}{8}$ 是一个极小值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例