微积分学示例

$f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 x + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$16 x + 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$16 x + 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$16 x + 8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$16 x + 8 (\cos (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$16 x + 8 (2 \cdot \cos (2 x))$

解题步骤 1.3.7

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 x + 16 \cos (2 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $16 x + 16 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [16 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$f'' (x) = 16 + 16 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = 16 + 16 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 16 + 16 (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.3.7

将 $- 2$ 乘以 $16$ 。

$f'' (x) = 16 - 32 \sin (2 x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$16 x + 16 \cos (2 x) = 0$

解题步骤 4

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 0.51493326$

解题步骤 5

计算在 $x = - 0.51493326$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$16 - 32 \sin (2 (- 0.51493326))$

解题步骤 6

将 $2$ 乘以 $- 0.51493326$ 。

$16 - 32 \sin (- 1.02986652)$

解题步骤 7

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 0.51493326$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 0.51493326$ 是一个极小值

解题步骤 8

求 $x = - 0.51493326$ 时的 y 值。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $- 0.51493326$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 0.51493326) = 8 {(- 0.51493326)}^{2} + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $- 0.51493326$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 0.51493326) = 8 \cdot 0.26515626 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

解题步骤 8.2.1.2

将 $8$ 乘以 $0.26515626$ 。

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

解题步骤 8.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 0.51493326$ 。

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (- 1.02986652)$

解题步骤 8.2.2

将 $2.12125013$ 和 $8 \sin (- 1.02986652)$ 相加。

$f (- 0.51493326) = - 4.73659201$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 4.73659201$ 。

$y = - 4.73659201$

解题步骤 9

这些是 $f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ 的局部极值。

$(- 0.51493326, - 4.73659201)$ 是一个局部最小值

解题步骤 10

微积分学 示例

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