微积分学示例

$f (x) = 8 \sqrt{x} e^{- x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.4.3

化简表达式。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.4.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.4.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 1.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 1.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 1.7

在公分母上合并分子。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 1.8

化简分子。

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解题步骤 1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 1.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 1.9

将负号移到分数的前面。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 1.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 1.11

组合 $e^{- x}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 1.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.13

化简。

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解题步骤 1.13.1

运用分配律。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.2

合并项。

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解题步骤 1.13.2.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.2.2

组合 $8$ 和 $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.2.3

从 $8 e^{- x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.2.4

约去公因数。

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解题步骤 1.13.2.4.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.13.2.4.2

约去公因数。

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.2.4.3

重写表达式。

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.3

重新排序项。

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} (e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.10

化简分子。

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解题步骤 2.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.11

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.13

组合 $e^{- x}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.16

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2.17

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.8

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.9

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.12

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.13

化简分子。

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解题步骤 2.3.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.14

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.16

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $e^{- x}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.3.18

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.18.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 2.3.18.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.18.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 2.3.18.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

解题步骤 2.3.19

化简。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

解题步骤 2.3.20

组合 $4$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ 。

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = - 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$f'' (x) = - 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.3.2

从 $- 8 e^{- x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.3.3

约去公因数。

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解题步骤 2.4.3.3.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.3.3.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.3.3.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{- 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.3.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.3.6

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.3.7

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 4 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.9

从 $- 4 e^{- x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.10

约去公因数。

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解题步骤 2.4.3.10.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{x}$

解题步骤 2.4.3.10.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.10.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.11

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.12

要将 $- \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.13

要将 $\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 2.4.3.14.1

将 $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.3.14.2.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.3.14.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.2.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.2.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.3

将 $\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.3.14.4.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.3.14.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.4.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.14.4.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.15

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 e^{- x} x + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.16

从 $- 4 e^{- x} x + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.3.16.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 2.4.3.16.1.1

移动 $e^{- x}$ 。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x e^{- x} + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.16.1.2

将 $- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 重新排序。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.16.2

从 $- 4 x e^{- x}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.16.3

从 $x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.17

从 $- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ 中减去 $4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ 。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.18

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.19

化简分母。

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解题步骤 2.4.3.19.1

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.3.19.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.19.1.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3 - 1}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.19.1.3

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.3.19.1.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.19.2

化简 $x^{1}$ 。

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.20

要将 $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} x}{x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.21

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} x - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.22

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{8 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{8 x^{1 + \frac{1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.24

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.25

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{2 + 1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.3.26

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{3}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.4

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.5

化简分子。

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解题步骤 2.4.5.1

从 $8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $2 e^{- x}$ 。

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解题步骤 2.4.5.1.1

从 $8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2 e^{- x}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.5.1.2

从 $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 e^{- x}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.5.1.3

从 $- \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $2 e^{- x}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.1.4

从 $2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2 e^{- x}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.1.5

从 $2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $2 e^{- x}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.2

要将 $4 x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.5.4.1

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.5.4.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.4.1.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1 + 3}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.4.1.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{4}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.4.1.5

用 $4$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.4.2

将 $4 x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(2 x)}^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.4.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 x$ 和 $b = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.5

要将 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.6

组合 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.7

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8

化简分子。

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解题步骤 2.4.5.8.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.5.8.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.1.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1 + 1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{2}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.2

化简 $- 4 x^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 1) (2 x - 1)$ 。

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解题步骤 2.4.5.8.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.4

合并 $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.4.5.8.4.1

按照 $2 x \cdot - 1$ 和 $1 (2 x)$ 重新排列因数。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) - 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.4.2

将 $- 1 \cdot 2 x$ 和 $1 \cdot 2 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.4.3

将 $2 x (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.5

化简每一项。

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解题步骤 2.4.5.8.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.5.8.5.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.5.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 x^{2}) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.5.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 4 x^{2} + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 4 x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.8.6

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 2.4.5.9

合并指数。

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解题步骤 2.4.5.9.1

组合 $\frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot e^{- x}}{x}$

解题步骤 2.4.5.9.2

组合 $\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $e^{- x}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot (2 e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.5.10

将 $2$ 移到 $4 x^{2} - 4 x - 1$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 2.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.4.7

合并。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 2.4.8

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.8.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.8.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 2.4.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 2.4.8.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.8.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 2.4.8.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.9

将 $2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.10

将 $\frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{3}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

解题步骤 4.1.1.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

解题步骤 4.1.2

$8 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.1.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.1.4

求微分。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.1.4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.1.4.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.1.4.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.1.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 4.1.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.1.7

在公分母上合并分子。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.1.8

化简分子。

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解题步骤 4.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 4.1.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 4.1.9

将负号移到分数的前面。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 4.1.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 4.1.11

组合 $e^{- x}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 4.1.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.13

化简。

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解题步骤 4.1.13.1

运用分配律。

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.13.2

合并项。

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解题步骤 4.1.13.2.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.13.2.2

组合 $8$ 和 $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.13.2.3

从 $8 e^{- x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.13.2.4

约去公因数。

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解题步骤 4.1.13.2.4.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.1.13.2.4.2

约去公因数。

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.13.2.4.3

重写表达式。

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.13.3

重新排序项。

$f' (x) = - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

求每项中都有的公因数 $e^{- 1 x}$ 。

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.3

代入 $u$ 替换 $e^{- 1 x}$ 。

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.4.1

通过方程两边同时减去 $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 的方法将其移到方程右边。

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2

化简 $- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- 8 {(e x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2

对 $e x^{- x}$ 运用乘积法则。

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} {(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.3

将 ${(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.4.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.3.2.1

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.3.2.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.3.2.3

约去公因数。

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.3.2.4

重写表达式。

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.4.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.4.3.1

在等式两边都加上 $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.2

要将 $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.3

组合 $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5

化简分子。

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解题步骤 5.4.3.5.1

从 $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{- x}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.4.3.5.1.1

从 $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.2

从 $4 e^{- x}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.1.3

从 $4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (e^{- x})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2

通过指数相加将 $x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.4.3.5.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1}{2} - \frac{2 x - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x - 1)}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.5.2.4.1

运用分配律。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x) - - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x - - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x + 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- 2 x + 2}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6

约去 $- 2 x + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.5.2.6.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.3

从 $2 (- x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.4

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.5.2.6.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 (1)}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.4.2

约去公因数。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 \cdot 1}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.4.3

重写表达式。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- x + 1}{1}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.5.2.6.4.4

用 $- x + 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.6

从 $- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.7

从 $e^{- x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.8

从 $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.9

将 $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ 重写为 $- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ 。

$\frac{4 (- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.4.3.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.5

代入 $x$ 替换 $u$ 。

$- \frac{4 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.6

从 $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $4 e^{- x}$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $4 e^{- x}$ 。

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.6.2

从 $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $4 e^{- x}$ 。

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

解题步骤 5.6.3

从 $4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $4 e^{- x}$ 。

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

解题步骤 5.7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

$- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.8

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.8.1

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

解题步骤 5.8.2

求解 $x$ 的 $e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 5.8.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 5.8.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.8.2.3

$e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.9

将 $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.9.1

将 $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 设为等于 $0$ 。

$- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.9.2

求解 $x$ 的 $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.9.2.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.9.2.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

解题步骤 5.9.2.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.2.2

将 $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.9.2.2.1

将 $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.9.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.9.2.2.2.1.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.9.2.2.2.1.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.2.2.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.2.2.2.1.1.3

在公分母上合并分子。

$- 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.2.2.2.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 x^{\frac{2}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.2.2.2.1.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$- 2 x^{1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.2.2.2.1.2

化简 $- 2 x^{1}$ 。

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.2.2.2.1.3

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.2.2.2.1.3.1

约去公因数。

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.2.2.2.1.3.2

重写表达式。

$- 2 x + 1 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.9.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.9.2.2.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 x + 1 = 0$

解题步骤 5.9.2.3

求解方程。

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解题步骤 5.9.2.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 x = - 1$

解题步骤 5.9.2.3.2

将 $- 2 x = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 5.9.2.3.2.1

将 $- 2 x = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.9.2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.9.2.3.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.9.2.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.9.2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.9.2.3.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.10

最终解为使 $4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- 8 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- 8 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 6.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- 8 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 6.1.4

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- 8 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.4

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 6.5

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{1}{2}, 0$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{1}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2 e^{- (\frac{1}{2})} (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- (\frac{1}{2})}$ 移动到分母。

$\frac{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 (4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{2 (4 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.1

约去公因数。

$\frac{2 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.4.2

重写表达式。

$\frac{2 (1 - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.5.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.5.2

约去公因数。

$\frac{2 (1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.5.3

重写表达式。

$\frac{2 (1 - 2 - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.6

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.7

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.3

化简分母。

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解题步骤 9.3.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 \cdot - 2}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{2 \cdot - 2}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.4

合并分数。

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解题步骤 9.4.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 4}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.4.2

组合 $\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$ 和 $e^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 4}{\frac{e^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

解题步骤 9.5

将分子乘以分母的倒数。

$- 4 \frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.6

乘以 $- 4 \frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 9.6.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.6.2

提取负因数。

$\frac{- (4 \cdot 2^{\frac{3}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.6.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- (2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2^{2 + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.6.5

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.6.6

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.6.7

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.6.8

化简分子。

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解题步骤 9.6.8.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2^{\frac{4 + 3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.6.8.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 2^{\frac{7}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2^{\frac{7}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{1}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \frac{1}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 8 \sqrt{\frac{1}{2}} e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

去掉圆括号。

$f (\frac{1}{2}) = 8 \sqrt{\frac{1}{2}} e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.2

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.4

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.5

合并和化简分母。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.5.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.5.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.5.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 11.2.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.5.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.5.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.5.6.5

计算指数。

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.6.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = 2 (4) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.6.2

约去公因数。

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{\sqrt{2}}{2})) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.6.3

重写表达式。

$f (\frac{1}{2}) = 4 \sqrt{2} e^{- (\frac{1}{2})}$

解题步骤 11.2.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (\frac{1}{2}) = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 11.2.8

乘以 $4 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 11.2.8.1

组合 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 11.2.8.2

组合 $\frac{4}{e^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.9

最终答案为 $\frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$ 。

$y = \frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{{(0)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简表达式。

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解题步骤 13.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 13.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{3}}$

解题步骤 13.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0}$

解题步骤 13.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 14

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例