微积分学示例

$f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $8 \sqrt{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \sqrt{3} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$8 \sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 (- \sin (x))$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sqrt{3} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $8 \sqrt{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \sqrt{3} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

解题步骤 2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \cos (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x) = 0$

解题步骤 4

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

约去公因数。

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2

用 $8 \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$8 \sqrt{3} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6

分离分数。

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 8

用 $8$ 除以 $1$ 。

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9

分离分数。

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 11

用 $0$ 除以 $1$ 。

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 12

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0$

解题步骤 13

从等式两边同时减去 $8 \sqrt{3}$ 。

$8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$

解题步骤 14

将 $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

将 $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 14.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

约去 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 14.2.1.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 14.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.3.1

约去 $- 8$ 和 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.3.1.1

从 $- 8 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 14.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.3.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 (1)}$

解题步骤 14.3.1.2.2

约去公因数。

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 \cdot 1}$

解题步骤 14.3.1.2.3

重写表达式。

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 14.3.1.2.4

用 $- \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 15

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

解题步骤 16

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 17

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{3} - π$

解题步骤 18

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{3} - π$ 。

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

解题步骤 18.2

得出的角 $\frac{2 π}{3}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{3} - π$ 共边。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 19

方程 $x = - \frac{π}{3}$ 的解。

$x = - \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

解题步骤 20

计算在 $x = - \frac{π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 8 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.4.2

从 $- 8 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.4.3

约去公因数。

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.4.4

重写表达式。

$- 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.6

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.7

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.10

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.10.4.1

约去公因数。

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.10.4.2

重写表达式。

$4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.10.5

计算指数。

$4 \cdot 3 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.11

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.12

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$12 + 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 21.1.13

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$12 + 8 \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.14

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$12 + 8 (\frac{1}{2})$

解题步骤 21.1.15

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1.15.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 + 2 (4) \frac{1}{2}$

解题步骤 21.1.15.2

约去公因数。

$12 + 2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

解题步骤 21.1.15.3

重写表达式。

$12 + 4$

解题步骤 21.2

将 $12$ 和 $4$ 相加。

$16$

解题步骤 22

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{π}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 23

求 $x = - \frac{π}{3}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.1

使用表达式中的 $- \frac{π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.1.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.4.2

从 $8 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.4.3

约去公因数。

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.4.4

重写表达式。

$f (- \frac{π}{3}) = 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.6

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.7

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.10

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.1.10.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.10.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.10.5

计算指数。

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.11

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.12

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 23.2.1.13

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.14

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 (\frac{1}{2})$

解题步骤 23.2.1.15

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.2.1.15.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 (- 4) (\frac{1}{2})$

解题步骤 23.2.1.15.2

约去公因数。

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 23.2.1.15.3

重写表达式。

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 4$

解题步骤 23.2.2

从 $- 12$ 中减去 $4$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = - 16$

解题步骤 23.2.3

最终答案为 $- 16$ 。

$y = - 16$

解题步骤 24

计算在 $x = \frac{2 π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 25.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 25.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 8 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 25.1.3.1

从 $- 8 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.3.2

约去公因数。

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.3.3

重写表达式。

$- 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.5

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.8

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 25.1.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.8.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 25.1.8.4.1

约去公因数。

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.8.4.2

重写表达式。

$- 4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.8.5

计算指数。

$- 4 \cdot 3 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.9

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$- 12 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 25.1.10

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 12 + 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

解题步骤 25.1.11

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- 12 + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 25.1.12

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 25.1.12.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 12 + 8 (\frac{- 1}{2})$

解题步骤 25.1.12.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 12 + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

解题步骤 25.1.12.3

约去公因数。

$- 12 + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

解题步骤 25.1.12.4

重写表达式。

$- 12 + 4 \cdot - 1$

解题步骤 25.1.13

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 12 - 4$

解题步骤 25.2

从 $- 12$ 中减去 $4$ 。

$- 16$

解题步骤 26

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{2 π}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{2 π}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 27

求 $x = \frac{2 π}{3}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 27.1

使用表达式中的 $\frac{2 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 27.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 27.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 27.2.1.3.1

从 $8 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.3.2

约去公因数。

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.3.3

重写表达式。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.5

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.8

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 27.2.1.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.8.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 27.2.1.8.4.1

约去公因数。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.8.4.2

重写表达式。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.8.5

计算指数。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.9

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.10

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

解题步骤 27.2.1.11

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 27.2.1.12

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 27.2.1.12.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (\frac{- 1}{2})$

解题步骤 27.2.1.12.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 (- 4) (\frac{- 1}{2})$

解题步骤 27.2.1.12.3

约去公因数。

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{- 1}{2}))$

解题步骤 27.2.1.12.4

重写表达式。

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 4 \cdot - 1$

解题步骤 27.2.1.13

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 4$

解题步骤 27.2.2

将 $12$ 和 $4$ 相加。

$f (\frac{2 π}{3}) = 16$

解题步骤 27.2.3

最终答案为 $16$ 。

$y = 16$

解题步骤 28

这些是 $f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ 的局部极值。

$(- \frac{π}{3}, - 16)$ 是一个局部最小值

$(\frac{2 π}{3}, 16)$ 是一个局部最大值

解题步骤 29

微积分学 示例

微积分学示例