微积分学示例

$f (x) = 32 x^{0.25}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 x^{0.25}$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ 。

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 0.25$ 。

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

解题步骤 1.3

将 $0.25$ 乘以 $32$ 。

$8 x^{- 0.75}$

解题步骤 1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

解题步骤 1.4.2

组合 $8$ 和 $\frac{1}{x^{0.75}}$ 。

$\frac{8}{x^{0.75}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8}{x^{0.75}}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{0.75}}]$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{0.75}})$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{0.75}}$ 重写为 ${(x^{0.75})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{0.75})}^{- 1})$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{0.75})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{0.75 \cdot - 1})$

解题步骤 2.2.2.2

将 $0.75$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{- 0.75})$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 0.75$ 。

$f'' (x) = 8 (- 0.75 x^{- 1.75})$

解题步骤 2.4

将 $- 0.75$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = - 6 x^{- 1.75}$

解题步骤 2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{1.75}}$

解题步骤 2.5.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{x^{1.75}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{1.75}}$

解题步骤 2.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{1.75}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 x^{0.25}$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ 。

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 0.25$ 。

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

解题步骤 4.1.3

将 $0.25$ 乘以 $32$ 。

$8 x^{- 0.75}$

解题步骤 4.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

解题步骤 4.1.4.2

组合 $8$ 和 $\frac{1}{x^{0.75}}$ 。

$f' (x) = \frac{8}{x^{0.75}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{8}{x^{0.75}}$ 。

$\frac{8}{x^{0.75}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{8}{x^{0.75}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$8 = 0$

解题步骤 5.3

因为 $8 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

将 $0.75$ 转变成分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1

乘以 $\frac{100}{100}$ 以去掉小数部分。

$\frac{8}{x^{\frac{100 \cdot 0.75}{100}}}$

解题步骤 6.1.1.2

将 $100$ 乘以 $0.75$ 。

$\frac{8}{x^{\frac{75}{100}}}$

解题步骤 6.1.1.3

约去 $75$ 和 $100$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.3.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{8}{x^{\frac{25 (3)}{100}}}$

解题步骤 6.1.1.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.3.2.1

从 $100$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

解题步骤 6.1.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

解题步骤 6.1.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{8}{x^{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 6.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $4$ 次幂。

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{4}}$ 。

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.2.1

将 ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$x^{3} = 0^{4}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.3.3.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 6.3.3.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 6.4

将 $\sqrt[4]{x^{3}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} < 0$

解题步骤 6.5

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.5.2

化简方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.2.1.1

从根式下提出各项。

$x < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.5.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 6.5.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x < 0$

解题步骤 6.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{6}{{(0)}^{1.75}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{6}{0}$

解题步骤 9.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 10

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例