微积分学示例

$f (x) = 3 \csc (4 x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \csc (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 1.2.2

$\csc (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc (u) \cot (u)$ 。

$3 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 1.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 (\csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 1.3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1$

解题步骤 1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$

解题步骤 1.3.5.2

重新排序 $- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$ 的因式。

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [\cot (4 x) \csc (4 x)]$ 。

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cot (4 x) \csc (4 x))$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot (4 x)$ 且 $g (x) = \csc (4 x)$ 。

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) \frac{d}{d x} (\csc (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (\frac{d}{d u (1)} (\csc (u_{1})) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.3.2

$\csc (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 。

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.3.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.4

对 $\cot (4 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.5

对 $\cot (4 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) {\cot (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.7

求微分。

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解题步骤 2.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.7.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.7.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} x + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \cdot 1 + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.7.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

解题步骤 2.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cot (u_{2})) \frac{d}{d x} (4 x)))$

解题步骤 2.8.2

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{2})$ 。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

解题步骤 2.8.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

解题步骤 2.9

对 $\csc (4 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc (4 x) \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

解题步骤 2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - {\csc (4 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} (4 x))$

解题步骤 2.11

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

解题步骤 2.12

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 2.13

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} x)$

解题步骤 2.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \cdot 1)$

解题步骤 2.15

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x))$

解题步骤 2.16

化简。

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解题步骤 2.16.1

运用分配律。

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

解题步骤 2.16.2

合并项。

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解题步骤 2.16.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = 48 (\csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

解题步骤 2.16.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = 48 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

解题步骤 2.16.3

重新排序项。

$f'' (x) = 48 \cot^{2} (4 x) \csc (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot (4 x) = 0$

$\csc (4 x) = 0$

解题步骤 5

将 $\cot (4 x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cot (4 x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (4 x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\cot (4 x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$4 x = arccot (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$4 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.3

将 $4 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $4 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 5.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

解题步骤 5.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.3.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.2.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{π}{8}$

解题步骤 5.2.4

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$4 x = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

化简。

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解题步骤 5.2.5.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.5.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.5.1.3

在公分母上合并分子。

$4 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 5.2.5.1.4

将 $π \cdot 2$ 和 $π$ 相加。

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解题步骤 5.2.5.1.4.1

将 $π$ 和 $2$ 重新排序。

$4 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 5.2.5.1.4.2

将 $2 \cdot π$ 和 $π$ 相加。

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

将 $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.2.5.2.1

将 $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

解题步骤 5.2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.5.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

解题步骤 5.2.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

解题步骤 5.2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.5.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.5.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.2.5.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 π}{8}$

解题步骤 5.2.6

方程 $4 x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

解题步骤 6

将 $\csc (4 x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\csc (4 x)$ 设为等于 $0$ 。

$\csc (4 x) = 0$

解题步骤 6.2

余割函数值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。由于 $0$ 不在该范围内，所以无解。

无解

解题步骤 7

最终解为使 $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{π}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$48 \cot^{2} (4 (\frac{π}{8})) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9.1.1.2

约去公因数。

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9.1.1.3

重写表达式。

$48 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9.1.2

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9.1.4

将 $48$ 乘以 $0$ 。

$0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 \csc (4 \frac{π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9.1.5.2

约去公因数。

$0 \csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9.1.5.3

重写表达式。

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9.1.6

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 \cdot 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9.1.7

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 9.1.8

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.8.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 (2)})$

解题步骤 9.1.8.2

约去公因数。

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

解题步骤 9.1.8.3

重写表达式。

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

解题步骤 9.1.9

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 48 \cdot 1^{3}$

解题步骤 9.1.10

一的任意次幂都为一。

$0 + 48 \cdot 1$

解题步骤 9.1.11

将 $48$ 乘以 $1$ 。

$0 + 48$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $48$ 相加。

$48$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{π}{8}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{8}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{π}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{π}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{8}))$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 (2)}))$

解题步骤 11.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}))$

解题步骤 11.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (\frac{π}{2})$

解题步骤 11.2.2

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{8}) = 3 \cdot 1$

解题步骤 11.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{8}) = 3$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{3 π}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$48 \cot^{2} (4 (\frac{3 π}{8})) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.1.2

约去公因数。

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.1.3

重写表达式。

$48 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.2

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余切在第四象限为负。

$48 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.3

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$48 {(- 0)}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.6

将 $48$ 乘以 $0$ 。

$0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.7.2

约去公因数。

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.7.3

重写表达式。

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.8

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余割在第四象限为负。

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.9

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 (- 1 \cdot 1) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.10

乘以 $0 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 13.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 \cdot - 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.10.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 13.1.11

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.11.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 (2)})$

解题步骤 13.1.11.2

约去公因数。

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2})$

解题步骤 13.1.11.3

重写表达式。

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 13.1.12

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余割在第四象限为负。

$0 + 48 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

解题步骤 13.1.13

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 48 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

解题步骤 13.1.14

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 48 {(- 1)}^{3}$

解题步骤 13.1.15

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$0 + 48 \cdot - 1$

解题步骤 13.1.16

将 $48$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 48$

解题步骤 13.2

从 $0$ 中减去 $48$ 。

$- 48$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{3 π}{8}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{8}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = \frac{3 π}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{8}))$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 (2)}))$

解题步骤 15.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}))$

解题步骤 15.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 15.2.2

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余割在第四象限为负。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- \csc (\frac{π}{2}))$

解题步骤 15.2.3

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.2.4

乘以 $3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 15.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \cdot - 1$

解题步骤 15.2.4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{8}) = - 3$

解题步骤 15.2.5

最终答案为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = 3 \csc (4 x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{8}, 3)$ 是一个局部最小值

$(\frac{3 π}{8}, - 3)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例