微积分学示例

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ 。

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 1.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

解题步骤 1.3.5

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

解题步骤 1.4.2

从 $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

解题步骤 1.4.2.2

从 $- 3 \sin (x)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

解题步骤 1.4.2.3

从 $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ 中分解出因数 $3 \sin (x)$ 。

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

解题步骤 1.4.3

将 $\cos^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

解题步骤 1.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 1.4.5

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

解题步骤 1.4.6

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

解题步骤 1.4.7

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

解题步骤 1.4.8

使用勾股恒等式。

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

解题步骤 1.4.9

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.4.9.1

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

解题步骤 1.4.9.2

将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 1.4.9.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

解题步骤 1.4.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

解题步骤 1.4.9.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

解题步骤 1.4.10

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \sin^{3} (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \sin^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ 。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

解题步骤 2.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

解题步骤 2.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

解题步骤 4

将 $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\sin^{3} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $- 3$ 。

$\sin^{3} (x) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 6.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 7

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 8

化简右边。

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解题步骤 8.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 9

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 10

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 11

方程 $x = 0$ 的解。

$x = 0, π$

解题步骤 12

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

解题步骤 13.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

解题步骤 13.3

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$0 \cos (0)$

解题步骤 13.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 \cdot 1$

解题步骤 13.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0$

解题步骤 14

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 14.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

解题步骤 14.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $- 3 \sin^{3} (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

解题步骤 14.2.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.2.1

计算 $\sin (- 2)$ 。

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

解题步骤 14.2.2.2

对 $- 0.90929742$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

解题步骤 14.2.2.3

将 $- 3$ 乘以 $- 0.75182694$ 。

$f' (- 2) = 2.25548083$

解题步骤 14.2.2.4

最终答案为 $2.25548083$ 。

$2.25548083$

解题步骤 14.3

将区间 $(0, π)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $- 3 \sin^{3} (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

解题步骤 14.3.2

化简结果。

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解题步骤 14.3.2.1

计算 $\sin (2)$ 。

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

解题步骤 14.3.2.2

对 $0.90929742$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

解题步骤 14.3.2.3

将 $- 3$ 乘以 $0.75182694$ 。

$f' (2) = - 2.25548083$

解题步骤 14.3.2.4

最终答案为 $- 2.25548083$ 。

$- 2.25548083$

解题步骤 14.4

将区间 $(π, \infty)$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $- 3 \sin^{3} (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.4.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

解题步骤 14.4.2

化简结果。

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解题步骤 14.4.2.1

计算 $\sin (6)$ 。

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

解题步骤 14.4.2.2

对 $- 0.27941549$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

解题步骤 14.4.2.3

将 $- 3$ 乘以 $- 0.02181481$ 。

$f' (6) = 0.06544443$

解题步骤 14.4.2.4

最终答案为 $0.06544443$ 。

$0.06544443$

解题步骤 14.5

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 14.6

由于一阶导数在 $x = π$ 周围从负号变为正号，因此 $x = π$ 是极小值。

$x = π$ 是一个极小值

解题步骤 14.7

这些是 $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ 的局部极值。

$x = 0$ 是一个极大值

$x = π$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = π$ 是一个极小值

解题步骤 15

微积分学 示例

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