微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} x \sin (2 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (2 x)$ 。

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x$

解题步骤 5

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

解题步骤 5.5

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u$

解题步骤 9

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \frac{\frac{π}{3} \cos (2 \frac{π}{3})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}$

解题步骤 10.2

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{2 π}{3}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \frac{\frac{π}{3} \cos (2 \frac{π}{3})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$- \frac{\frac{π}{3} \cos (\frac{2 π}{3})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.2

组合 $\frac{π}{3}$ 和 $\cos (\frac{2 π}{3})$ 。

$- \frac{\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.3

将 $\frac{\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3}}{2}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.4

将 $\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.7

将 $0$ 乘以 $\cos (0)$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.8

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.8.2.2

约去公因数。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.8.2.3

重写表达式。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.9

将 $- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

解题步骤 10.3.10

要将 $\frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0)) \cdot \frac{6}{6}$

解题步骤 10.3.11

组合 $\frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0)) \cdot 6}{6}$

解题步骤 10.3.12

在公分母上合并分子。

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0)) \cdot 6}{6}$

解题步骤 10.3.13

组合 $6$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{6}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

解题步骤 10.3.14

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.14.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 (3)}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

解题步骤 10.3.14.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.14.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

解题步骤 10.3.14.2.2

约去公因数。

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

解题步骤 10.3.14.2.3

重写表达式。

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)}{6}$

解题步骤 11.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0)}{6}$

解题步骤 11.3

将 $\sin (\frac{2 π}{3})$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} \sin (\frac{2 π}{3})}{6}$

解题步骤 11.4

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\sin (\frac{2 π}{3})$ 。

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{6}$

解题步骤 11.5

将 $\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{6}$

解题步骤 11.6

合并。

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2})}{2 \cdot 6}$

解题步骤 11.7

运用分配律。

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3})) + 2 \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 11.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.8.1

约去公因数。

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3})) + 2 \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 11.8.2

重写表达式。

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3})) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2 \cdot 6}$

解题步骤 11.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 (π \cos (\frac{2 π}{3})) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2 \cdot 6}$

解题步骤 11.10

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 2 π \cos (\frac{2 π}{3}) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

解题步骤 11.11

从 $- 2 π \cos (\frac{2 π}{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 π \cos (\frac{2 π}{3})) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

解题步骤 11.12

从 $3 \sin (\frac{2 π}{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 π \cos (\frac{2 π}{3})) - (- 3 \sin (\frac{2 π}{3}))}{12}$

解题步骤 11.13

从 $- (2 π \cos (\frac{2 π}{3})) - (- 3 \sin (\frac{2 π}{3}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))}{12}$

解题步骤 11.14

将 $- (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))$ 重写为 $- 1 (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))$ 。

$\frac{- 1 (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))}{12}$

解题步骤 11.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \frac{2 π (- \cos (\frac{π}{3})) - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

解题步骤 12.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{2 π (- \frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

解题步骤 12.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{2 π \frac{- 1}{2} - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

解题步骤 12.3.2

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (π) \frac{- 1}{2} - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

解题步骤 12.3.3

约去公因数。

$- \frac{2 π \frac{- 1}{2} - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

解题步骤 12.3.4

重写表达式。

$- \frac{π \cdot - 1 - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

解题步骤 12.4

将 $- 1$ 移到 $π$ 的左侧。

$- \frac{- 1 \cdot π - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

解题步骤 12.5

将 $- 1 π$ 重写为 $- π$ 。

$- \frac{- π - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

解题步骤 12.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \frac{- π - 3 \sin (\frac{π}{3})}{12}$

解题步骤 12.7

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{- π - 3 \frac{\sqrt{3}}{2}}{12}$

解题步骤 12.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{- π + \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

解题步骤 12.9

化简分子。

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解题步骤 12.9.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{- π - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

解题步骤 12.9.2

要将 $- π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{- π \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

解题步骤 12.9.3

组合 $- π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{\frac{- π \cdot 2}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

解题步骤 12.9.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{\frac{- π \cdot 2 - 3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

解题步骤 12.9.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

解题步骤 12.10

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{12})$

解题步骤 12.11

乘以 $\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{12}$ 。

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解题步骤 12.11.1

将 $\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{12}$ 。

$- \frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2 \cdot 12}$

解题步骤 12.11.2

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$- \frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{24}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{24}$

小数形式：

$0.47830573 \dots$

微积分学 示例

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