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微积分学 示例
解题步骤 1
解题步骤 1.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.2
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 1.3
求微分。
解题步骤 1.3.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 1.3.2
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.3.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.3.4
将 乘以 。
解题步骤 1.3.5
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.3.6
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.3.7
将 乘以 。
解题步骤 1.3.8
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.3.9
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.3.10
将 乘以 。
解题步骤 1.3.11
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 1.3.12
将 和 相加。
解题步骤 1.3.13
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 1.3.14
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.3.15
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 1.3.16
化简表达式。
解题步骤 1.3.16.1
将 和 相加。
解题步骤 1.3.16.2
将 乘以 。
解题步骤 1.4
化简。
解题步骤 1.4.1
运用分配律。
解题步骤 1.4.2
运用分配律。
解题步骤 1.4.3
运用分配律。
解题步骤 1.4.4
运用分配律。
解题步骤 1.4.5
运用分配律。
解题步骤 1.4.6
运用分配律。
解题步骤 1.4.7
合并项。
解题步骤 1.4.7.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 1.4.7.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.4.7.3
将 和 相加。
解题步骤 1.4.7.4
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.5
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.6
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.7
对 进行 次方运算。
解题步骤 1.4.7.8
对 进行 次方运算。
解题步骤 1.4.7.9
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.4.7.10
将 和 相加。
解题步骤 1.4.7.11
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.12
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.13
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.14
将 和 相加。
解题步骤 1.4.7.15
将 移到 的左侧。
解题步骤 1.4.7.16
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.17
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.18
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.19
从 中减去 。
解题步骤 1.4.7.20
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.21
将 和 相加。
解题步骤 1.4.7.22
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.23
将 和 相加。
解题步骤 1.4.7.24
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.25
从 中减去 。
解题步骤 1.4.7.26
将 乘以 。
解题步骤 1.4.7.27
从 中减去 。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.2
计算 。
解题步骤 2.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.2.3
将 乘以 。
解题步骤 2.3
计算 。
解题步骤 2.3.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.3.3
将 乘以 。
解题步骤 2.4
计算 。
解题步骤 2.4.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.4.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.4.3
将 乘以 。
解题步骤 2.5
使用常数法则求导。
解题步骤 2.5.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 2.5.2
将 和 相加。
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
求一阶导数。
解题步骤 4.1.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.2
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 4.1.3
求微分。
解题步骤 4.1.3.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.3.2
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.3.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.3.4
将 乘以 。
解题步骤 4.1.3.5
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.3.6
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.3.7
将 乘以 。
解题步骤 4.1.3.8
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.3.9
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.3.10
将 乘以 。
解题步骤 4.1.3.11
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 4.1.3.12
将 和 相加。
解题步骤 4.1.3.13
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.3.14
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.3.15
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 4.1.3.16
化简表达式。
解题步骤 4.1.3.16.1
将 和 相加。
解题步骤 4.1.3.16.2
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4
化简。
解题步骤 4.1.4.1
运用分配律。
解题步骤 4.1.4.2
运用分配律。
解题步骤 4.1.4.3
运用分配律。
解题步骤 4.1.4.4
运用分配律。
解题步骤 4.1.4.5
运用分配律。
解题步骤 4.1.4.6
运用分配律。
解题步骤 4.1.4.7
合并项。
解题步骤 4.1.4.7.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 4.1.4.7.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.1.4.7.3
将 和 相加。
解题步骤 4.1.4.7.4
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.5
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.6
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.7
对 进行 次方运算。
解题步骤 4.1.4.7.8
对 进行 次方运算。
解题步骤 4.1.4.7.9
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.1.4.7.10
将 和 相加。
解题步骤 4.1.4.7.11
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.12
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.13
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.14
将 和 相加。
解题步骤 4.1.4.7.15
将 移到 的左侧。
解题步骤 4.1.4.7.16
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.17
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.18
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.19
从 中减去 。
解题步骤 4.1.4.7.20
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.21
将 和 相加。
解题步骤 4.1.4.7.22
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.23
将 和 相加。
解题步骤 4.1.4.7.24
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.25
从 中减去 。
解题步骤 4.1.4.7.26
将 乘以 。
解题步骤 4.1.4.7.27
从 中减去 。
解题步骤 4.2
对 的一阶导数是 。
解题步骤 5
解题步骤 5.1
将一阶导数设为等于 。
解题步骤 5.2
画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。
解题步骤 6
解题步骤 6.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 7
要计算的驻点。
解题步骤 8
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 9
解题步骤 9.1
化简每一项。
解题步骤 9.1.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 9.1.2
将 乘以 。
解题步骤 9.1.3
将 乘以 。
解题步骤 9.2
通过相加和相减进行化简。
解题步骤 9.2.1
将 和 相加。
解题步骤 9.2.2
从 中减去 。
解题步骤 10
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 11
解题步骤 11.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 11.2
化简结果。
解题步骤 11.2.1
化简表达式。
解题步骤 11.2.1.1
从 中减去 。
解题步骤 11.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 11.2.2
化简每一项。
解题步骤 11.2.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 11.2.2.2
将 乘以 。
解题步骤 11.2.2.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 11.2.2.4
将 乘以 。
解题步骤 11.2.2.5
将 乘以 。
解题步骤 11.2.3
化简表达式。
解题步骤 11.2.3.1
将 和 相加。
解题步骤 11.2.3.2
将 和 相加。
解题步骤 11.2.3.3
从 中减去 。
解题步骤 11.2.3.4
将 乘以 。
解题步骤 11.2.4
最终答案为 。
解题步骤 12
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 13
解题步骤 13.1
化简每一项。
解题步骤 13.1.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 13.1.2
将 乘以 。
解题步骤 13.1.3
将 乘以 。
解题步骤 13.2
通过减去各数进行化简。
解题步骤 13.2.1
从 中减去 。
解题步骤 13.2.2
从 中减去 。
解题步骤 14
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 15
解题步骤 15.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 15.2
化简结果。
解题步骤 15.2.1
化简表达式。
解题步骤 15.2.1.1
从 中减去 。
解题步骤 15.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 15.2.2
化简每一项。
解题步骤 15.2.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 15.2.2.2
将 乘以 。
解题步骤 15.2.2.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 15.2.2.4
将 乘以 。
解题步骤 15.2.2.5
将 乘以 。
解题步骤 15.2.3
化简表达式。
解题步骤 15.2.3.1
将 和 相加。
解题步骤 15.2.3.2
从 中减去 。
解题步骤 15.2.3.3
从 中减去 。
解题步骤 15.2.3.4
将 乘以 。
解题步骤 15.2.4
最终答案为 。
解题步骤 16
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 17
解题步骤 17.1
化简每一项。
解题步骤 17.1.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 17.1.2
将 乘以 。
解题步骤 17.1.3
将 乘以 。
解题步骤 17.2
通过减去各数进行化简。
解题步骤 17.2.1
从 中减去 。
解题步骤 17.2.2
从 中减去 。
解题步骤 18
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 19
解题步骤 19.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 19.2
化简结果。
解题步骤 19.2.1
化简表达式。
解题步骤 19.2.1.1
从 中减去 。
解题步骤 19.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 19.2.2
化简每一项。
解题步骤 19.2.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 19.2.2.2
将 乘以 。
解题步骤 19.2.2.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 19.2.2.4
将 乘以 。
解题步骤 19.2.2.5
将 乘以 。
解题步骤 19.2.3
化简表达式。
解题步骤 19.2.3.1
将 和 相加。
解题步骤 19.2.3.2
从 中减去 。
解题步骤 19.2.3.3
从 中减去 。
解题步骤 19.2.3.4
将 乘以 。
解题步骤 19.2.4
最终答案为 。
解题步骤 20
这些是 的局部极值。
是一个局部最小值
是一个局部最大值
是一个局部最小值
解题步骤 21