微积分学示例

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 1.4.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

解题步骤 1.4.2.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 1.4.2.3

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

解题步骤 2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 4

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 5

从 $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.1

从 $- 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 5.2

从 $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 7

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 7.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 7.2.5

方程 $x = 0$ 的解。

$x = 0, π$

解题步骤 8

将 $\cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $\cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 8.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 8.2.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 8.2.5

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 8.2.6

方程 $x = 0$ 的解。

$x = 0, 2 π$

解题步骤 9

最终解为使 $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, π, 2 π$

解题步骤 10

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

解题步骤 11.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

解题步骤 11.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - 2 \cos (0)$

解题步骤 11.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 - 2 \cdot 1$

解题步骤 11.1.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 - 2$

解题步骤 11.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0$

解题步骤 12

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 12.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

解题步骤 12.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 12.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

解题步骤 12.2.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

解题步骤 12.2.2.1.2

计算 $\sin (- 4)$ 。

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

解题步骤 12.2.2.1.3

计算 $\sin (- 2)$ 。

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

解题步骤 12.2.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 0.90929742$ 。

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

解题步骤 12.2.2.2

将 $0.75680249$ 和 $1.81859485$ 相加。

$f' (- 2) = 2.57539734$

解题步骤 12.2.2.3

最终答案为 $2.57539734$ 。

$2.57539734$

解题步骤 12.3

将区间 $(0, π)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 12.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

解题步骤 12.3.2

化简结果。

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解题步骤 12.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

解题步骤 12.3.2.1.2

计算 $\sin (4)$ 。

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

解题步骤 12.3.2.1.3

计算 $\sin (2)$ 。

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

解题步骤 12.3.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $0.90929742$ 。

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

解题步骤 12.3.2.2

从 $- 0.75680249$ 中减去 $1.81859485$ 。

$f' (2) = - 2.57539734$

解题步骤 12.3.2.3

最终答案为 $- 2.57539734$ 。

$- 2.57539734$

解题步骤 12.4

将区间 $(π, 2 π)$ 内的任一数字（例如 $5$ ）代入一阶导数 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 12.4.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

解题步骤 12.4.2

化简结果。

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解题步骤 12.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

解题步骤 12.4.2.1.2

计算 $\sin (10)$ 。

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

解题步骤 12.4.2.1.3

计算 $\sin (5)$ 。

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

解题步骤 12.4.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 0.95892427$ 。

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

解题步骤 12.4.2.2

将 $- 0.54402111$ 和 $1.91784854$ 相加。

$f' (5) = 1.37382743$

解题步骤 12.4.2.3

最终答案为 $1.37382743$ 。

$1.37382743$

解题步骤 12.5

将区间 $(2 π, \infty)$ 内的任一数字（例如 $9$ ）代入一阶导数 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 12.5.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

解题步骤 12.5.2

化简结果。

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解题步骤 12.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.5.2.1.1

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

解题步骤 12.5.2.1.2

计算 $\sin (18)$ 。

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

解题步骤 12.5.2.1.3

计算 $\sin (9)$ 。

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

解题步骤 12.5.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $0.41211848$ 。

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

解题步骤 12.5.2.2

从 $- 0.75098724$ 中减去 $0.82423697$ 。

$f' (9) = - 1.57522421$

解题步骤 12.5.2.3

最终答案为 $- 1.57522421$ 。

$- 1.57522421$

解题步骤 12.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 12.7

由于一阶导数在 $x = π$ 周围从负号变为正号，因此 $x = π$ 是极小值。

$x = π$ 是一个极小值

解题步骤 12.8

由于一阶导数在 $x = 2 π$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 2 π$ 是极大值。

$x = 2 π$ 是一个极大值

解题步骤 12.9

这些是 $f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ 的局部极值。

$x = 0$ 是一个极大值

$x = π$ 是一个极小值

$x = 2 π$ 是一个极大值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = π$ 是一个极小值

$x = 2 π$ 是一个极大值

解题步骤 13

微积分学 示例

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