微积分学示例

$f (x) = 2 \cos (x) - \sin (2 x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 \cos (x) - \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$- 2 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$- 2 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- 2 \sin (x) - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 \sin (x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \sin (x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \sin (x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin (x) - (\cos (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$- 2 \sin (x) - (2 \cdot \cos (2 x))$

解题步骤 1.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (2 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 2 \sin (x) - 2 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.3.7

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 4 \sin (2 x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (2 x) = 0$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$- 2 \sin (x) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$- 2 \sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin (x) - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4.4

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 \sin (x) - 2 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 5

对 $- 2 \sin (x) - 2 + 4 \sin^{2} (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

从 $- 2 \sin (x) - 2 + 4 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $- 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \sin (x)) - 2 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 5.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \sin (x)) + 2 (- 1) + 4 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 5.1.3

从 $4 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \sin (x)) + 2 (- 1) + 2 (2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 5.1.4

从 $2 (- \sin (x)) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \sin (x) - 1) + 2 (2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 5.1.5

从 $2 (- \sin (x) - 1) + 2 (2 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 5.2

因数。

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解题步骤 5.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 5.2.1.1

重新排序项。

$2 (2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 (2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.2.2

把 $- 1$ 重写为 $1$ 加 $- 2$

$2 (2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.2.3

运用分配律。

$2 (2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.2.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 (2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 (2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 (\sin (x) (2 \sin (x) + 1) - (2 \sin (x) + 1)) = 0$

解题步骤 5.2.1.4

通过因式分解出最大公因数 $2 \sin (x) + 1$ 来因式分解多项式。

$2 ((2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

解题步骤 5.2.2

去掉多余的括号。

$2 (2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 7

将 $2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $2 \sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \sin (x) = - 1$

解题步骤 7.2.2

将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.4

化简右边。

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解题步骤 7.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 7.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.2.6.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 7.2.6.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 7.2.7

方程 $x = - \frac{π}{6}$ 的解。

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

解题步骤 8

将 $\sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $\sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\sin (x) = 1$

解题步骤 8.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.5

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 8.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 8.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 8.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 8.2.5.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 8.2.5.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.6

方程 $x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

解题步骤 9

最终解为使 $2 (2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{π}{2}$

解题步骤 10

计算在 $x = - \frac{π}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \cos (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 2 \cos (\frac{11 π}{6}) + 4 \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.4.2

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.4.3

重写表达式。

$- 1 \sqrt{3} + 4 \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.5

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$- \sqrt{3} + 4 \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.6.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$- \sqrt{3} + 4 \sin (2 \frac{- π}{6})$

解题步骤 11.1.6.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \sqrt{3} + 4 \sin (2 \frac{- π}{2 (3)})$

解题步骤 11.1.6.3

约去公因数。

$- \sqrt{3} + 4 \sin (2 \frac{- π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 11.1.6.4

重写表达式。

$- \sqrt{3} + 4 \sin (\frac{- π}{3})$

解题步骤 11.1.7

将负号移到分数的前面。

$- \sqrt{3} + 4 \sin (- \frac{π}{3})$

解题步骤 11.1.8

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \sqrt{3} + 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 11.1.9

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \sqrt{3} + 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 11.1.10

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \sqrt{3} + 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 11.1.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.11.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- \sqrt{3} + 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.1.11.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \sqrt{3} + 2 (2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.1.11.3

约去公因数。

$- \sqrt{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.1.11.4

重写表达式。

$- \sqrt{3} + 2 (- \sqrt{3})$

解题步骤 11.1.12

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

解题步骤 11.2

从 $- \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$- 3 \sqrt{3}$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{π}{6}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{π}{6}$ 是一个极大值

解题步骤 13

求 $x = - \frac{π}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $- \frac{π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cos (- \frac{π}{6}) - \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π}{6}) - \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 13.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) - \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 13.2.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 13.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 13.2.1.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} - \sin (2 (- \frac{π}{6}))$

解题步骤 13.2.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.5.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} - \sin (2 (\frac{- π}{6}))$

解题步骤 13.2.1.5.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} - \sin (2 (\frac{- π}{2 (3)}))$

解题步骤 13.2.1.5.3

约去公因数。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} - \sin (2 (\frac{- π}{2 \cdot 3}))$

解题步骤 13.2.1.5.4

重写表达式。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} - \sin (\frac{- π}{3})$

解题步骤 13.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} - \sin (- \frac{π}{3})$

解题步骤 13.2.1.7

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} - \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 13.2.1.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 13.2.1.9

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.1.10

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 13.2.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 13.2.1.10.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.2

要将 $\sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.3

合并分数。

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解题步骤 13.2.3.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.4

化简分子。

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解题步骤 13.2.4.1

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.4.2

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.5

最终答案为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 14

计算在 $x = \frac{7 π}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \cos (\frac{7 π}{6}) + 4 \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 15

计算二阶导数。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 15.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 15.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 15.1.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 15.1.3.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 15.1.3.4

重写表达式。

$- 1 (- \sqrt{3}) + 4 \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 15.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \sqrt{3} + 4 \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 15.1.5

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{3} + 4 \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 15.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.6.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{3} + 4 \sin (2 \frac{7 π}{2 (3)})$

解题步骤 15.1.6.2

约去公因数。

$\sqrt{3} + 4 \sin (2 \frac{7 π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 15.1.6.3

重写表达式。

$\sqrt{3} + 4 \sin (\frac{7 π}{3})$

解题步骤 15.1.7

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sqrt{3} + 4 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.8

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{3} + 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.1.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.9.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{3} + 2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.1.9.2

约去公因数。

$\sqrt{3} + 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.1.9.3

重写表达式。

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 15.2

将 $\sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$3 \sqrt{3}$

解题步骤 16

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{7 π}{6}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{7 π}{6}$ 是一个极小值

解题步骤 17

求 $x = \frac{7 π}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 17.1

使用表达式中的 $\frac{7 π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \cos (\frac{7 π}{6}) - \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 17.2

化简结果。

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解题步骤 17.2.1

化简每一项。

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解题步骤 17.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 17.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 17.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 17.2.1.3.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 17.2.1.3.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (2 (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 17.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (2 (\frac{7 π}{2 (3)}))$

解题步骤 17.2.1.4.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 3}))$

解题步骤 17.2.1.4.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{7 π}{3})$

解题步骤 17.2.1.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 17.2.1.6

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.2

要将 $- \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.3

合并分数。

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解题步骤 17.2.3.1

组合 $- \sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.4

化简分子。

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解题步骤 17.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.4.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.5

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.6

最终答案为 $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 18

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) + 4 \sin (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 19

计算二阶导数。

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解题步骤 19.1

化简每一项。

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解题步骤 19.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- 2 \cdot 0 + 4 \sin (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 19.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$0 + 4 \sin (2 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 19.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.1.3.1

约去公因数。

$0 + 4 \sin (2 \frac{π}{2})$

解题步骤 19.1.3.2

重写表达式。

$0 + 4 \sin (π)$

解题步骤 19.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$0 + 4 \sin (0)$

解题步骤 19.1.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + 4 \cdot 0$

解题步骤 19.1.6

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 19.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 20

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 20.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - \frac{π}{6}) \cup (- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{7 π}{6}) \cup (\frac{7 π}{6}, \infty)$

解题步骤 20.2

将区间 $(- \infty, - \frac{π}{6})$ 内的任一数字（例如 $- 3$ ）代入一阶导数 $- 2 \sin (x) - 2 \cos (2 x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 20.2.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = - 2 \sin (- 3) - 2 \cos (2 (- 3))$

解题步骤 20.2.2

化简结果。

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解题步骤 20.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.2.2.1.1

计算 $\sin (- 3)$ 。

$f' (- 3) = - 2 \cdot - 0.14112 - 2 \cos (2 (- 3))$

解题步骤 20.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 0.14112$ 。

$f' (- 3) = 0.28224001 - 2 \cos (2 (- 3))$

解题步骤 20.2.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (- 3) = 0.28224001 - 2 \cos (- 6)$

解题步骤 20.2.2.1.4

计算 $\cos (- 6)$ 。

$f' (- 3) = 0.28224001 - 2 \cdot 0.96017028$

解题步骤 20.2.2.1.5

将 $- 2$ 乘以 $0.96017028$ 。

$f' (- 3) = 0.28224001 - 1.92034057$

解题步骤 20.2.2.2

从 $0.28224001$ 中减去 $1.92034057$ 。

$f' (- 3) = - 1.63810055$

解题步骤 20.2.2.3

最终答案为 $- 1.63810055$ 。

$- 1.63810055$

解题步骤 20.3

将区间 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $- 2 \sin (x) - 2 \cos (2 x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 20.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = - 2 \sin (0) - 2 \cos (2 (0))$

解题步骤 20.3.2

化简结果。

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解题步骤 20.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.3.2.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f' (0) = - 2 \cdot 0 - 2 \cos (2 (0))$

解题步骤 20.3.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 2 \cos (2 (0))$

解题步骤 20.3.2.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 2 \cos (0)$

解题步骤 20.3.2.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f' (0) = 0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 20.3.2.1.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f' (0) = 0 - 2$

解题步骤 20.3.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f' (0) = - 2$

解题步骤 20.3.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 20.4

将区间 $(\frac{π}{2}, \frac{7 π}{6})$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $- 2 \sin (x) - 2 \cos (2 x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 20.4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = - 2 \sin (3) - 2 \cos (2 (3))$

解题步骤 20.4.2

化简结果。

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解题步骤 20.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.4.2.1.1

计算 $\sin (3)$ 。

$f' (3) = - 2 \cdot 0.14112 - 2 \cos (2 (3))$

解题步骤 20.4.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0.14112$ 。

$f' (3) = - 0.28224001 - 2 \cos (2 (3))$

解题步骤 20.4.2.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = - 0.28224001 - 2 \cos (6)$

解题步骤 20.4.2.1.4

计算 $\cos (6)$ 。

$f' (3) = - 0.28224001 - 2 \cdot 0.96017028$

解题步骤 20.4.2.1.5

将 $- 2$ 乘以 $0.96017028$ 。

$f' (3) = - 0.28224001 - 1.92034057$

解题步骤 20.4.2.2

从 $- 0.28224001$ 中减去 $1.92034057$ 。

$f' (3) = - 2.20258058$

解题步骤 20.4.2.3

最终答案为 $- 2.20258058$ 。

$- 2.20258058$

解题步骤 20.5

将区间 $(\frac{7 π}{6}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $- 2 \sin (x) - 2 \cos (2 x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 20.5.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = - 2 \sin (6) - 2 \cos (2 (6))$

解题步骤 20.5.2

化简结果。

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解题步骤 20.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.5.2.1.1

计算 $\sin (6)$ 。

$f' (6) = - 2 \cdot - 0.27941549 - 2 \cos (2 (6))$

解题步骤 20.5.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 0.27941549$ 。

$f' (6) = 0.55883099 - 2 \cos (2 (6))$

解题步骤 20.5.2.1.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f' (6) = 0.55883099 - 2 \cos (12)$

解题步骤 20.5.2.1.4

计算 $\cos (12)$ 。

$f' (6) = 0.55883099 - 2 \cdot 0.84385395$

解题步骤 20.5.2.1.5

将 $- 2$ 乘以 $0.84385395$ 。

$f' (6) = 0.55883099 - 1.68770791$

解题步骤 20.5.2.2

从 $0.55883099$ 中减去 $1.68770791$ 。

$f' (6) = - 1.12887692$

解题步骤 20.5.2.3

最终答案为 $- 1.12887692$ 。

$- 1.12887692$

解题步骤 20.6

由于一阶导数在 $x = - \frac{π}{6}$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 20.7

对于 $f (x) = 2 \cos (x) - \sin (2 x)$ ，不存在局部最大值和最小值。

没有局部最大值或最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例