微积分学示例

$f (x) = 2 x y$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 y \cdot 1$

解题步骤 1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 y$

解题步骤 2

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 y = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 y \cdot 1$

解题步骤 4.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 y$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 y$ 。

$2 y$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 y = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 y = 0$

解题步骤 5.2

将 $2 y = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $2 y = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$y = 0$

解题步骤 6

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 7

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$0$

解题步骤 8

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 9

微积分学 示例

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