微积分学示例

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 x - \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$2 - \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $2 - \sec^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sec^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 2.2.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 2.2.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

解题步骤 2.2.5

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

解题步骤 2.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

解题步骤 2.2.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 2.3

从 $0$ 中减去 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- \sec^{2} (x) = - 2$

解题步骤 5

将 $- \sec^{2} (x) = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- \sec^{2} (x) = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

用 $\sec^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$\sec^{2} (x) = 2$

解题步骤 6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sec (x) = \sqrt{2}$

解题步骤 7.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 8

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 9

在 $\sec (x) = \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (\sqrt{2})$

解题步骤 9.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.1

$arcsec (\sqrt{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 9.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

解题步骤 9.4

化简 $2 π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 9.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 9.4.2

合并分数。

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解题步骤 9.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 9.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 9.4.3

化简分子。

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解题步骤 9.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 9.4.3.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 9.5

方程 $x = \frac{π}{4}$ 的解。

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

解题步骤 10

在 $\sec (x) = - \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

解题步骤 10.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.1

$arcsec (- \sqrt{2})$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 10.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 10.4

化简 $2 π - \frac{3 π}{4}$ 。

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解题步骤 10.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 10.4.2

合并分数。

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解题步骤 10.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 10.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

解题步骤 10.4.3

化简分子。

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解题步骤 10.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

解题步骤 10.4.3.2

从 $8 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 10.5

方程 $x = \frac{3 π}{4}$ 的解。

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

解题步骤 11

列出所有解。

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

解题步骤 12

排除不能使 $2 - \sec^{2} (x) = 0$ 成立的解。

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

解题步骤 13

计算在 $x = \frac{π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.2

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.3

合并和化简分母。

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解题步骤 14.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 14.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.6.4.1

约去公因数。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.3.6.4.2

重写表达式。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.3.6.5

计算指数。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.1

约去公因数。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.4.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 14.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.5.4.1

约去公因数。

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.5.4.2

重写表达式。

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.5.5

计算指数。

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.6

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 14.7

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 14.8

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = \frac{π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 (2)}) - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 16.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 16.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 16.2.1.2

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 16.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1$

解题步骤 16.2.2

最终答案为 $\frac{π}{2} - 1$ 。

$y = \frac{π}{2} - 1$

解题步骤 17

计算在 $x = \frac{7 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18

计算二阶导数。

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解题步骤 18.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.2

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.3

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.4

合并和化简分母。

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解题步骤 18.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 18.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.4.6.4.1

约去公因数。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.4.6.4.2

重写表达式。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.4.6.5

计算指数。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.5.1

约去公因数。

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.5.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 18.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.6.4.1

约去公因数。

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.6.4.2

重写表达式。

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.6.5

计算指数。

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.7

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 18.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

解题步骤 18.9

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 18.10

乘以 $- 4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 18.10.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \cdot - 1$

解题步骤 18.10.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4$

解题步骤 19

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{7 π}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{7 π}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 20

求 $x = \frac{7 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 20.1

使用表达式中的 $\frac{7 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 20.2

化简结果。

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解题步骤 20.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 20.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 20.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 20.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 20.2.1.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 20.2.1.4

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 20.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

解题步骤 20.2.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

解题步骤 20.2.2

最终答案为 $\frac{7 π}{2} + 1$ 。

$y = \frac{7 π}{2} + 1$

解题步骤 21

计算在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sec^{2} (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22

计算二阶导数。

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解题步骤 22.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.2

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.3

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.4

合并和化简分母。

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解题步骤 22.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 22.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.4.6.4.1

约去公因数。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.4.6.4.2

重写表达式。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.4.6.5

计算指数。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.5.1

约去公因数。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.5.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.6

化简表达式。

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解题步骤 22.6.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.6.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.6.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 22.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.7.4.1

约去公因数。

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.7.4.2

重写表达式。

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.7.5

计算指数。

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.8

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 22.9

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

解题步骤 22.10

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 22.11

乘以 $- 4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 22.11.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \cdot - 1$

解题步骤 22.11.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4$

解题步骤 23

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 24

求 $x = \frac{3 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 24.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 24.2

化简结果。

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解题步骤 24.2.1

化简每一项。

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解题步骤 24.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 24.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 24.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 24.2.1.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 24.2.1.4

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 24.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

解题步骤 24.2.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

解题步骤 24.2.2

最终答案为 $\frac{3 π}{2} + 1$ 。

$y = \frac{3 π}{2} + 1$

解题步骤 25

计算在 $x = \frac{5 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \sec^{2} (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26

计算二阶导数。

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解题步骤 26.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。使表达式取负值，因为正割在第三象限为负。

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.2

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.3

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.4

合并和化简分母。

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解题步骤 26.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 26.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 26.4.6.4.1

约去公因数。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.4.6.4.2

重写表达式。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.4.6.5

计算指数。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 26.5.1

约去公因数。

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.5.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.6

化简表达式。

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解题步骤 26.6.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.6.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.6.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 26.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 26.7.4.1

约去公因数。

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.7.4.2

重写表达式。

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.7.5

计算指数。

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.8

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 26.9

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 26.10

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 26.11

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 27

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{5 π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{5 π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 28

求 $x = \frac{5 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 28.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 28.2

化简结果。

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解题步骤 28.2.1

化简每一项。

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解题步骤 28.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 28.2.1.1.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 28.2.1.1.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 28.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 28.2.1.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 28.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1$

解题步骤 28.2.2

最终答案为 $\frac{5 π}{2} - 1$ 。

$y = \frac{5 π}{2} - 1$

解题步骤 29

这些是 $f (x) = 2 x - \tan (x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1)$ 是一个局部最大值

$(\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1)$ 是一个局部最小值

$(\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1)$ 是一个局部最小值

$(\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1)$ 是一个局部最大值

解题步骤 30

微积分学 示例

微积分学示例