微积分学示例

$lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{2 x}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{x}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} \sin (3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 5} 3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 5} x)}{lim_{x \to 5} x}$

解题步骤 5

将 $5$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} x}$

解题步骤 5.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{5}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (15)}{5}$

解题步骤 6.1.2

$\sin (15)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - 30)}{5}$

解题步骤 6.1.2.2

将被减数和减数分开。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - (30))}{5}$

解题步骤 6.1.2.3

应用角度恒等式的差。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

解题步骤 6.1.2.4

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

解题步骤 6.1.2.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{5}$

解题步骤 6.1.2.6

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{5}$

解题步骤 6.1.2.7

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

解题步骤 6.1.2.8

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 6.1.2.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

解题步骤 6.1.2.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

解题步骤 6.1.2.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

解题步骤 6.1.2.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

解题步骤 6.1.2.8.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.1.2.8.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{5}$

解题步骤 6.1.2.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{5}$

解题步骤 6.1.2.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{5}$

解题步骤 6.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5})$

解题步骤 6.3

乘以 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 5}$

解题步骤 6.3.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$

解题步骤 6.4

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 20}$

解题步骤 6.4.2

将 $2$ 乘以 $20$ 。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

小数形式：

$0.02588190 \dots$

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