微积分学示例

$lim_{x \to 4} \frac{5 (x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 1

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$5 \frac{lim_{x \to 4} (x - 4) \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$5 \frac{lim_{x \to 4} x - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.2

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.4

将极限移入根号内。

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.5

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.6

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.7

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.7.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 \frac{(4 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.7.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 \frac{(4 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$5 \frac{(4 - 4) \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.8.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.8.3

将 $4$ 和 $12$ 相加。

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{16}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.8.4

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.8.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$5 \frac{0 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.2.8.6

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$5 \frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$5 \frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.3.1.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$5 \frac{0}{4 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.1.3.1.3

将极限移入根号内。

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}$

解题步骤 2.1.3.1.4

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 12}}$

解题步骤 2.1.3.1.5

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{4 + 12}}$

解题步骤 2.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.3.1.1

将 $4$ 和 $12$ 相加。

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$5 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 2.1.3.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$5 \frac{0}{4 - 4}$

解题步骤 2.1.3.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$5 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$5 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$5 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$5 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) \sqrt{x + 12}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) \sqrt{x + 12}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 12}$ 重写成 ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 4$ 且 $g (x) = {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 12$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 12$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.4.3

使用 $x + 12$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.7

在公分母上合并分子。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.8

化简分子。

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解题步骤 2.3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.9

将负号移到分数的前面。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.12

根据加法法则， $x + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [12]) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.14

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.15

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.16

将 $x - 4$ 乘以 $1$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.17

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.19

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.20

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.21

将 ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22

化简。

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解题步骤 2.3.22.1

将 $x - 4$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.2

要将 ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.3

组合 ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.4

在公分母上合并分子。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.22.5.1

通过指数相加将 ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.22.5.1.1

移动 ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.5.1.3

在公分母上合并分子。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.5.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.5.2

化简 ${(x + 12)}^{1} \cdot 2$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + (x + 12) \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.5.3

运用分配律。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + x \cdot 2 + 12 \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.5.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + 2 \cdot x + 12 \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.5.5

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + 2 \cdot x + 24}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.5.6

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x - 4 + 24}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.22.5.7

将 $- 4$ 和 $24$ 相加。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.23

根据加法法则， $4 - \sqrt{x + 12}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.24

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]}$

解题步骤 2.3.25

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]$ 。

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解题步骤 2.3.25.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 12}$ 重写成 ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.25.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.25.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 12$ 。

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解题步骤 2.3.25.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 12$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 12]}$

解题步骤 2.3.25.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12]}$

解题步骤 2.3.25.3.3

使用 $x + 12$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12]}$

解题步骤 2.3.25.4

根据加法法则， $x + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12])}$

解题步骤 2.3.25.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [12])}$

解题步骤 2.3.25.6

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.25.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.25.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.25.9

在公分母上合并分子。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.25.10

化简分子。

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解题步骤 2.3.25.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.25.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.25.11

将负号移到分数的前面。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.25.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}$

解题步骤 2.3.25.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}$

解题步骤 2.3.25.14

将 $\frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 2.3.25.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.26

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 2.5.1

将 ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x + 12}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5.2

将 ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x + 12}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 1 \cdot 2 \sqrt{x + 12}$

解题步骤 2.6

合并因数。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 2 \sqrt{x + 12}$

解题步骤 2.6.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{- 2 (3 x + 20)}{2 \sqrt{x + 12}} \sqrt{x + 12}$

解题步骤 2.6.3

组合 $\frac{- 2 (3 x + 20)}{2 \sqrt{x + 12}}$ 和 $\sqrt{x + 12}$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{- 2 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.7

简化。

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解题步骤 2.7.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1.1

从 $- 2 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.7.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.7.1.2.1

从 $2 \sqrt{x + 12}$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 (\sqrt{x + 12})}$

解题步骤 2.7.1.2.2

约去公因数。

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.7.1.2.3

重写表达式。

$5 lim_{x \to 4} \frac{- (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{\sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.7.2

约去 $\sqrt{x + 12}$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.1

约去公因数。

$5 lim_{x \to 4} \frac{- (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{\sqrt{x + 12}}$

解题步骤 2.7.2.2

用 $- (3 x + 20)$ 除以 $1$ 。

$5 lim_{x \to 4} - (3 x + 20)$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 \cdot - 1 lim_{x \to 4} 3 x + 20$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$5 \cdot - 1 (lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 20)$

解题步骤 3.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 \cdot - 1 (3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 20)$

解题步骤 3.4

计算 $20$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$5 \cdot - 1 (3 lim_{x \to 4} x + 20)$

解题步骤 4

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 \cdot - 1 (3 \cdot 4 + 20)$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 (3 \cdot 4 + 20)$

解题步骤 5.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- 5 (12 + 20)$

解题步骤 5.3

将 $12$ 和 $20$ 相加。

$- 5 \cdot 32$

解题步骤 5.4

将 $- 5$ 乘以 $32$ 。

$- 160$

微积分学 示例

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