微积分学示例

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2 x + 1 - 3}}{\sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{2 x + 1 - 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + 1 - 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 6

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 7

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 9

计算 $2 \sqrt{2}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 10

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 10.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\sqrt{8 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 11.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{8 + 1 - 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 11.1.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{9 - 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 11.1.4

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 11.2

把 $\sqrt{6}$ 和 $\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ 组合为一个单根式。

$\sqrt{\frac{6}{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 11.3

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{6}{4 - 2 \sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 11.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (3)}{4 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 11.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 11.3.3

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2})}}$

解题步骤 11.3.4

从 $2 (2) + 2 (- \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (2 - \sqrt{2})}}$

解题步骤 11.3.5

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (2 - \sqrt{2})}}$

解题步骤 11.3.6

重写表达式。

$\sqrt{\frac{3}{2 - \sqrt{2}}}$

解题步骤 11.4

将 $\frac{3}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{3}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}$

解题步骤 11.5

将 $\frac{3}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

解题步骤 11.6

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

解题步骤 11.7

化简。

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{2}}$

解题步骤 11.8

将 $\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 11.9

将 $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 11.10

合并和化简分母。

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解题步骤 11.10.1

将 $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 11.10.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 11.10.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 11.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 11.10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 11.10.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 11.10.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.10.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 11.10.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.10.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.10.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.10.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 11.10.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 11.11

化简分子。

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解题步骤 11.11.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2}$

解题步骤 11.11.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{6 (2 + \sqrt{2})}}{2}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{6 (2 + \sqrt{2})}}{2}$

小数形式：

$2.26303343 \dots$

微积分学 示例

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