微积分学示例

$y = \frac{\sqrt{x}}{2 + x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 + x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 2 + x$ 。

$\frac{(2 + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 8

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(2 + x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 9

根据加法法则， $2 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

运用分配律。

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.1.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.1.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1.4.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.1.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.1.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.1.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.1.4.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.2

要将 $- x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.3

组合 $- x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.5.1.1

从 $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.5.1.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.5.1.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.5.1.1.3

从 $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.5.1.1.4

从 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.5.2

将 $- 1$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.3.1

将 $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.3.2

合并。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.3.3

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.3.4

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.3.4.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.3.4.2

重写表达式。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.3.5

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.3.6

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.3.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.3.6.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.3.6.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{2}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.3.6.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1 - \frac{x^{1}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.3.7

化简 $x^{1}$ 。

$\frac{1 - \frac{x}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.4

重新排序项。

$\frac{- \frac{x}{2} + 1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- \frac{x}{2} + \frac{2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- x + 2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- x + 2}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.7

将 $\frac{- x + 2}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$ 。

$\frac{- x + 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2})}$

解题步骤 14.8

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) + 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.9

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.10

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x - 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.11

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{- 1 (x - 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

解题步骤 14.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x - 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例