微积分学示例

$lim_{x \to \frac{3 x}{2}} \frac{\sin (x)}{3 x}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to \frac{3 x}{2}} \frac{\sin (x)}{x}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{3 x}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x}$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x}$

解题步骤 4

将 $\frac{3 x}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{3 x}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (\frac{3 x}{2})}{lim_{x \to \frac{3 x}{2}} x}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3 x}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (\frac{3 x}{2})}{\frac{3 x}{2}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{3} (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{2}{3 x})$

解题步骤 5.2

组合 $\sin (\frac{3 x}{2})$ 和 $\frac{2}{3 x}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (\frac{3 x}{2}) \cdot 2}{3 x}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 移到 $\sin (\frac{3 x}{2})$ 的左侧。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot \sin (\frac{3 x}{2})}{3 x}$

解题步骤 5.4

乘以 $\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{3 x}$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{3 x}$ 。

$\frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{3 (3 x)}$

解题步骤 5.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \sin (\frac{3 x}{2})}{9 x}$

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