微积分学示例

$lim_{x \to 3} - 9 π \cos (\frac{π x}{2}) \sin (\frac{π x}{2})$

解题步骤 1

因为项 $- 9 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 9 π lim_{x \to 3} \cos (\frac{π x}{2}) \sin (\frac{π x}{2})$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- 9 π lim_{x \to 3} \cos (\frac{π x}{2}) \cdot lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$- 9 π \cos (lim_{x \to 3} \frac{π x}{2}) \cdot lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})$

解题步骤 4

因为项 $\frac{π}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x) \cdot lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})$

解题步骤 5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x) \cdot \sin (lim_{x \to 3} \frac{π x}{2})$

解题步骤 6

因为项 $\frac{π}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x) \cdot \sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)$

解题步骤 7

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} \cdot 3) \cdot \sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)$

解题步骤 7.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 9 π \cos (\frac{π}{2} \cdot 3) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $3$ 。

$- 9 π \cos (\frac{π \cdot 3}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

解题步骤 8.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$- 9 π \cos (\frac{3 \cdot π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

解题步骤 8.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 9 π \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

解题步骤 8.4

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- 9 π \cdot 0 \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

解题步骤 8.5

乘以 $- 9 π \cdot 0$ 。

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解题步骤 8.5.1

将 $0$ 乘以 $- 9$ 。

$0 π \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

解题步骤 8.5.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$0 \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

解题步骤 8.6

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $3$ 。

$0 \cdot \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

解题步骤 8.7

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$0 \cdot \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

解题步骤 8.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$0 \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 8.9

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$0 \cdot (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 8.10

乘以 $0 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 8.10.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 \cdot - 1$

解题步骤 8.10.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0$

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