微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2 + 4 x - 21}}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

解题步骤 1.3

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

解题步骤 1.4

从 $2$ 中减去 $21$ 。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{4 x - 19}}$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将 $x^{4 x - 19}$ 重写为 $e^{\ln (x^{4 x - 19})}$ 。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{4 x - 19})}}$

解题步骤 2.2

通过将 $4 x - 19$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{4 x - 19})$ 。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{(4 x - 19) \ln (x)}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

将极限移入指数中。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} (4 x - 19) \ln (x)}}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} 4 x - 19 \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

解题步骤 3.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

解题步骤 3.5

计算 $19$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

解题步骤 3.6

将极限移入对数中。

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

解题步骤 4

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

解题步骤 4.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

解题步骤 4.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 将 $e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$ 移动到分子。

$(3 - 1 \cdot 3) e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

解题步骤 5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$(3 - 3) e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

解题步骤 5.3

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$0 e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$0 e^{- (12 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

解题步骤 5.4.2

将 $- 1$ 乘以 $19$ 。

$0 e^{- (12 - 19) \cdot \ln (3)}$

解题步骤 5.5

从 $12$ 中减去 $19$ 。

$0 e^{- - 7 \cdot \ln (3)}$

解题步骤 5.6

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$0 e^{7 \cdot \ln (3)}$

解题步骤 5.7

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $7 \cdot \ln (3)$ 。

$0 e^{\ln (3^{7})}$

解题步骤 5.8

指数函数和对数函数互为反函数。

$0 \cdot 3^{7}$

解题步骤 5.9

对 $3$ 进行 $7$ 次方运算。

$0 \cdot 2187$

解题步骤 5.10

将 $0$ 乘以 $2187$ 。

$0$

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