微积分学示例

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{2 + 5 x - 3 x^{3}}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{2 + 5 x - 3 x^{3}}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + 5 x - 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{\frac{2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 lim_{x \to 3} x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 11

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 11.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 11.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{3}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 3^{3}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 27}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.3

将 $- 3$ 乘以 $27$ 。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.4

将 $2$ 和 $15$ 相加。

$\sqrt[3]{\frac{17 - 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.5

从 $17$ 中减去 $81$ 。

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{9 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{9 - 1}}$

解题步骤 12.8

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{8}}$

解题步骤 12.9

用 $- 64$ 除以 $8$ 。

$\sqrt[3]{- 8}$

解题步骤 12.10

将 $- 8$ 重写为 ${(- 2)}^{3}$ 。

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$

解题步骤 12.11

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$- 2$

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