微积分学示例

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{2 + 5 x - 3 x^{4}}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{2 + 5 x - 3 x^{4}}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + 5 x - 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{\frac{2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 lim_{x \to 3} x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 11

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 11.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 11.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{4}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 3^{4}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.3

将 $- 3$ 乘以 $81$ 。

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 243}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.4

将 $2$ 和 $15$ 相加。

$\sqrt[3]{\frac{17 - 243}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.5

从 $17$ 中减去 $243$ 。

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{9 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{9 - 1}}$

解题步骤 12.8

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{8}}$

解题步骤 12.9

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 12.9.1

约去 $- 226$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 12.9.1.1

从 $- 226$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt[3]{\frac{2 (- 113)}{8}}$

解题步骤 12.9.1.2

约去公因数。

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解题步骤 12.9.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt[3]{\frac{2 \cdot - 113}{2 \cdot 4}}$

解题步骤 12.9.1.2.2

约去公因数。

$\sqrt[3]{\frac{2 \cdot - 113}{2 \cdot 4}}$

解题步骤 12.9.1.2.3

重写表达式。

$\sqrt[3]{\frac{- 113}{4}}$

解题步骤 12.9.2

将负号移到分数的前面。

$\sqrt[3]{- \frac{113}{4}}$

解题步骤 12.10

将 $- \frac{113}{4}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{113}{4}$ 。

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解题步骤 12.10.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{113}{4}}$

解题步骤 12.10.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{113}{4}}$

解题步骤 12.11

从根式下提出各项。

${(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{113}{4}}$

解题步骤 12.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \sqrt[3]{\frac{113}{4}}$

解题步骤 12.13

将 $\sqrt[3]{\frac{113}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ 。

$- \frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$

解题步骤 12.14

将 $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$- (\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

解题步骤 12.15

合并和化简分母。

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解题步骤 12.15.1

将 $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 12.15.2

对 $\sqrt[3]{4}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 12.15.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

解题步骤 12.15.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

解题步骤 12.15.5

将 ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 重写为 $4$ 。

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解题步骤 12.15.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4}$ 重写成 $4^{\frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 12.15.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 12.15.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 12.15.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.15.5.4.1

约去公因数。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 12.15.5.4.2

重写表达式。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

解题步骤 12.15.5.5

计算指数。

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

解题步骤 12.16

化简分子。

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解题步骤 12.16.1

将 ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 。

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

解题步骤 12.16.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{16}}{4}$

解题步骤 12.16.3

将 $16$ 重写为 $2^{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 12.16.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

解题步骤 12.16.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 12.16.4

从根式下提出各项。

$- \frac{\sqrt[3]{113} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

解题步骤 12.16.5

合并指数。

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解题步骤 12.16.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{2 \sqrt[3]{113 \cdot 2}}{4}$

解题步骤 12.16.5.2

将 $113$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{4}$

解题步骤 12.17

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.17.1

从 $2 \sqrt[3]{226}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (\sqrt[3]{226})}{4}$

解题步骤 12.17.2

约去公因数。

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解题步骤 12.17.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.17.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.17.2.3

重写表达式。

$- \frac{\sqrt[3]{226}}{2}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt[3]{226}}{2}$

小数形式：

$- 3.04559967 \dots$

微积分学 示例

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