微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

解题步骤 1

因式分解出 $\sin^{2} (x)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

解题步骤 2

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (x)$ 重写成 $1 - \cos^{2} (x)$ 的形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

解题步骤 3

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 3.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 3.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

解题步骤 7

组合 $- u]_{1}^{0}$ 和 $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ 。

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 8.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 8.2.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 8.2.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 8.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 8.2.6

一的任意次幂都为一。

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 8.2.7

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

解题步骤 8.2.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

解题步骤 8.2.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

解题步骤 8.2.10

在公分母上合并分子。

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

解题步骤 8.2.11

化简分子。

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解题步骤 8.2.11.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

解题步骤 8.2.11.2

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$0 - \frac{- 2}{3}$

解题步骤 8.2.12

将负号移到分数的前面。

$0 - - \frac{2}{3}$

解题步骤 8.2.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

解题步骤 8.2.14

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{2}{3}$

解题步骤 8.2.15

将 $0$ 和 $\frac{2}{3}$ 相加。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3}$

小数形式：

$0.\overline{6}$

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