微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{e^{2 x} - 1}{\sin (3 x)}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} e^{2 x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

解题步骤 3

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} \sin (3 x)}$

解题步骤 6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{\sin (lim_{x \to 8} 3 x)}$

解题步骤 7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}{\sin (3 lim_{x \to 8} x)}$

解题步骤 8

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 1}{\sin (3 lim_{x \to 8} x)}$

解题步骤 8.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{2 \cdot 8} - 1 \cdot 1}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

将 $e^{2 \cdot 8}$ 重写为 ${(e^{8})}^{2}$ 。

$\frac{{(e^{8})}^{2} - 1 \cdot 1}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{{(e^{8})}^{2} - 1^{2}}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{8}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{8} - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9.1.4

化简。

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解题步骤 9.1.4.1

将 $e^{8}$ 重写为 ${(e^{4})}^{2}$ 。

$\frac{(e^{8} + 1) ({(e^{4})}^{2} - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9.1.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(e^{8} + 1) ({(e^{4})}^{2} - 1^{2})}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9.1.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{4}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) (e^{4} - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9.1.4.4

化简。

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解题步骤 9.1.4.4.1

将 $e^{4}$ 重写为 ${(e^{2})}^{2}$ 。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9.1.4.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ({(e^{2})}^{2} - 1^{2}))}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9.1.4.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)))}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9.1.4.4.4

化简。

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解题步骤 9.1.4.4.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})))}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9.1.4.4.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) ((e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)))}{\sin (3 \cdot 8)}$

$\frac{(e^{8} + 1) ((e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1))}{\sin (3 \cdot 8)}$

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{\sin (3 \cdot 8)}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{\sin (24)}$

解题步骤 9.2.2

计算 $\sin (24)$ 。

$\frac{(e^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.3

使用近似值替换 $e$ 。

$\frac{({2.71828182}^{8} + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.4

对 $2.71828182$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{(2980.95798704 + 1) (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.5

将 $2980.95798704$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2981.95798704 (e^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.6

使用近似值替换 $e$ 。

$\frac{2981.95798704 ({2.71828182}^{4} + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.7

对 $2.71828182$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{2981.95798704 (54.59815003 + 1) (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.8

将 $54.59815003$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2981.95798704 \cdot 55.59815003 (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.9

将 $2981.95798704$ 乘以 $55.59815003$ 。

$\frac{165791.34755607 (e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.10

使用近似值替换 $e$ 。

$\frac{165791.34755607 ({2.71828182}^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.11

对 $2.71828182$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{165791.34755607 (7.38905609 + 1) (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.12

将 $7.38905609$ 和 $1$ 相加。

$\frac{165791.34755607 \cdot 8.38905609 (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.13

将 $165791.34755607$ 乘以 $8.38905609$ 。

$\frac{1390832.91536521 (e + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.14

使用近似值替换 $e$ 。

$\frac{1390832.91536521 (2.71828182 + 1) (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.15

将 $2.71828182$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1390832.91536521 \cdot 3.71828182 (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.16

将 $1390832.91536521$ 乘以 $3.71828182$ 。

$\frac{5171508.75562519 (e - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.17

使用近似值替换 $e$ 。

$\frac{5171508.75562519 (2.71828182 - 1)}{0.40673664}$

解题步骤 9.18

从 $2.71828182$ 中减去 $1$ 。

$\frac{5171508.75562519 \cdot 1.71828182}{0.40673664}$

解题步骤 9.19

将 $5171508.75562519$ 乘以 $1.71828182$ 。

$\frac{8886109.52050758}{0.40673664}$

解题步骤 9.20

用 $8886109.52050758$ 除以 $0.40673664$ 。

$21847329.64630275$

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