微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{3 (x^{7} - 11) (x^{2} + 5)}{3 (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

解题步骤 1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

约去公因数。

$lim_{x \to 8} \frac{3 (x^{7} - 11) (x^{2} + 5)}{3 (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

解题步骤 1.2

重写表达式。

$lim_{x \to 8} \frac{(x^{7} - 11) (x^{2} + 5)}{(x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} (x^{7} - 11) (x^{2} + 5)}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} x^{7} - 11 \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 5}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(lim_{x \to 8} x^{7} - lim_{x \to 8} 11) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 5}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{7}$ 的指数 $7$ 移到极限外。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - lim_{x \to 8} 11) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 5}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

解题步骤 6

计算 $11$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 5}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot (lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5)}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 5)}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

解题步骤 9

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{lim_{x \to 8} (x^{n} - 8) (x^{3} + 18)}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{lim_{x \to 8} x^{n} - 8 \cdot lim_{x \to 8} x^{3} + 18}$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{(lim_{x \to 8} x^{n} - lim_{x \to 8} 8) \cdot lim_{x \to 8} x^{3} + 18}$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $x^{n}$ 的指数 $n$ 移到极限外。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - lim_{x \to 8} 8) \cdot lim_{x \to 8} x^{3} + 18}$

解题步骤 13

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 8} x^{3} + 18}$

解题步骤 14

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 18)}$

解题步骤 15

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 18)}$

解题步骤 16

计算 $18$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{({(lim_{x \to 8} x)}^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 18)}$

解题步骤 17

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 17.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(8^{7} - 1 \cdot 11) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 18)}$

解题步骤 17.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(8^{7} - 1 \cdot 11) \cdot (8^{2} + 5)}{({(lim_{x \to 8} x)}^{n} - 1 \cdot 8) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 18)}$

解题步骤 17.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(8^{7} - 1 \cdot 11) \cdot (8^{2} + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 18)}$

解题步骤 17.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(8^{7} - 1 \cdot 11) \cdot (8^{2} + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

解题步骤 18

化简答案。

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解题步骤 18.1

化简分子。

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解题步骤 18.1.1

对 $8$ 进行 $7$ 次方运算。

$\frac{(2097152 - 1 \cdot 11) (8^{2} + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

解题步骤 18.1.2

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$\frac{(2097152 - 11) (8^{2} + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

解题步骤 18.1.3

从 $2097152$ 中减去 $11$ 。

$\frac{2097141 (8^{2} + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

解题步骤 18.1.4

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2097141 (64 + 5)}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

解题步骤 18.1.5

将 $64$ 和 $5$ 相加。

$\frac{2097141 \cdot 69}{(8^{n} - 1 \cdot 8) \cdot (8^{3} + 18)}$

解题步骤 18.2

化简分母。

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解题步骤 18.2.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{2097141 \cdot 69}{(8^{n} - 8) (8^{3} + 18)}$

解题步骤 18.2.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2097141 \cdot 69}{(8^{n} - 8) (512 + 18)}$

解题步骤 18.2.3

将 $512$ 和 $18$ 相加。

$\frac{2097141 \cdot 69}{(8^{n} - 8) \cdot 530}$

解题步骤 18.3

将 $2097141$ 乘以 $69$ 。

$\frac{144702729}{(8^{n} - 8) \cdot 530}$

解题步骤 18.4

将 $530$ 移到 $8^{n} - 8$ 的左侧。

$\frac{144702729}{530 (8^{n} - 8)}$

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