微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{1 - (\cos^{2} (3 x))}{x \sin (5 x)}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - (\cos^{2} (3 x))}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

解题步骤 3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (3 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1 - {(lim_{x \to 8} \cos (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

解题步骤 5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 8} 3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

解题步骤 6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (5 x)}$

解题步骤 8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} 5 x)}$

解题步骤 9

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

解题步骤 10

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

解题步骤 10.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

解题步骤 10.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

解题步骤 11

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

使用勾股恒等式。

$\frac{\sin^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

解题步骤 11.2

从 $\sin^{2} (3 \cdot 8)$ 中分解出因数 $\sin (3 \cdot 8)$ 。

$\frac{\sin (3 \cdot 8) \sin (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

解题步骤 11.3

分离分数。

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$

解题步骤 11.4

将 $\frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

解题步骤 11.5

将 $\sin (3 \cdot 8)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\frac{\sin (3 \cdot 8)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

解题步骤 11.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.6.1

用 $\sin (3 \cdot 8)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

解题步骤 11.6.2

将 $\frac{1}{\sin (5 \cdot 8)}$ 转换成 $\csc (5 \cdot 8)$ 。

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

解题步骤 11.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.7.1

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{\sin (24)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

解题步骤 11.7.2

计算 $\sin (24)$ 。

$\frac{0.40673664}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

解题步骤 11.8

用 $0.40673664$ 除以 $8$ 。

$0.05084208 (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

解题步骤 11.9

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$0.05084208 (\sin (24) \csc (5 \cdot 8))$

解题步骤 11.10

计算 $\sin (24)$ 。

$0.05084208 (0.40673664 \csc (5 \cdot 8))$

解题步骤 11.11

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$0.05084208 (0.40673664 \csc (40))$

解题步骤 11.12

计算 $\csc (40)$ 。

$0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$

解题步骤 11.13

乘以 $0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.13.1

将 $0.40673664$ 乘以 $1.55572382$ 。

$0.05084208 \cdot 0.63276988$

解题步骤 11.13.2

将 $0.05084208$ 乘以 $0.63276988$ 。

$0.03217133$

微积分学 示例

微积分学示例