微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} (\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2} \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 4

将极限移入根号内。

$\frac{(\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 6

将极限移入根号内。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 8

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 9

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

解题步骤 10

将极限移入根号内。

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 11

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 11.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 11.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 11.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{(\sqrt{40} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

解题步骤 12.1.2

将 $40$ 重写为 $2^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 12.1.2.1

从 $40$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(\sqrt{4 (10)} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

解题步骤 12.1.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{(\sqrt{2^{2} \cdot 10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

解题步骤 12.1.3

从根式下提出各项。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

解题步骤 12.1.4

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

解题步骤 12.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

解题步骤 12.1.6

从 $40$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 12.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{4 (2)}}$

解题步骤 12.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 12.2.2

从根式下提出各项。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 12.3

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1

从 $(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 12.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.2.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 (\sqrt{2})}$

解题步骤 12.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 12.3.2.3

重写表达式。

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4}{\sqrt{2}}$

解题步骤 12.4

将 $4$ 移到 $2 \sqrt{10} - \sqrt{38}$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$

解题步骤 12.5

将 $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 12.6

合并和化简分母。

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解题步骤 12.6.1

将 $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 12.6.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 12.6.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 12.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 12.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 12.6.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 12.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 12.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 12.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.6.6.4.1

约去公因数。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.6.6.4.2

重写表达式。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 12.6.6.5

计算指数。

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 12.7

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.7.1

从 $4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 12.7.2

约去公因数。

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解题步骤 12.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 12.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.7.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 12.7.2.4

用 $2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$

解题步骤 12.8

运用分配律。

$(2 (2 \sqrt{10}) + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

解题步骤 12.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 \sqrt{10} + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

解题步骤 12.10

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{38}) \sqrt{2}$

解题步骤 12.11

运用分配律。

$4 \sqrt{10} \sqrt{2} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

解题步骤 12.12

乘以 $4 \sqrt{10} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 12.12.1

使用根数乘积法则进行合并。

$4 \sqrt{2 \cdot 10} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

解题步骤 12.12.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

解题步骤 12.13

乘以 $- 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 12.13.1

使用根数乘积法则进行合并。

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2 \cdot 38}$

解题步骤 12.13.2

将 $2$ 乘以 $38$ 。

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{76}$

解题步骤 12.14

化简每一项。

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解题步骤 12.14.1

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 12.14.1.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{76}$

解题步骤 12.14.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{76}$

解题步骤 12.14.2

从根式下提出各项。

$4 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{76}$

解题步骤 12.14.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{76}$

解题步骤 12.14.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

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解题步骤 12.14.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{4 (19)}$

解题步骤 12.14.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 19}$

解题步骤 12.14.5

从根式下提出各项。

$8 \sqrt{5} - 2 (2 \sqrt{19})$

解题步骤 12.14.6

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

小数形式：

$0.45294804 \dots$

微积分学 示例

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