微积分学示例

$lim_{x \to 8} (\sqrt{\frac{5}{x + 3}}) (x^{2} + 1)$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{5}{x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{5}{x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

解题步骤 3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{5 lim_{x \to 8} \frac{1}{x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt{5 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

解题步骤 7

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot lim_{x \to 8} x^{2} + 1$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot (lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1)$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1)$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x + 3}} \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1)$

解题步骤 11

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{5 \frac{1}{8 + 3}} \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1)$

解题步骤 11.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{5 \frac{1}{8 + 3}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{8 + 3}$ 。

$\sqrt{\frac{5}{8 + 3}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.2

将 $8$ 和 $3$ 相加。

$\sqrt{\frac{5}{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.3

将 $\sqrt{\frac{5}{11}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.4

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.5

合并和化简分母。

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解题步骤 12.5.1

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.5.2

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.5.3

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.5.6

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 12.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.5.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11^{1}} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.5.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{11} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.6

化简分子。

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解题步骤 12.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{5 \cdot 11}}{11} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.6.2

将 $5$ 乘以 $11$ 。

$\frac{\sqrt{55}}{11} \cdot (8^{2} + 1)$

解题步骤 12.7

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{55}}{11} \cdot (64 + 1)$

解题步骤 12.8

将 $64$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{55}}{11} \cdot 65$

解题步骤 12.9

组合 $\frac{\sqrt{55}}{11}$ 和 $65$ 。

$\frac{\sqrt{55} \cdot 65}{11}$

解题步骤 12.10

将 $65$ 移到 $\sqrt{55}$ 的左侧。

$\frac{65 \sqrt{55}}{11}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{65 \sqrt{55}}{11}$

小数形式：

$43.82299106 \dots$

微积分学 示例

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