微积分学示例

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{{(- 3)}^{x - 1}}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{{(- 3)}^{x - 1}}{\sqrt{x}}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} {(- 3)}^{x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

解题步骤 3

将极限移入指数中。

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

解题步骤 6

将极限移入根号内。

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

解题步骤 7

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

解题步骤 7.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8}}}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1}}{\sqrt{8}}}$

解题步骤 8.1.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{7}}{\sqrt{8}}}$

解题步骤 8.1.3

对 $- 3$ 进行 $7$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{8}}}$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 8.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{4 (2)}}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}$

解题步骤 8.2.2

从根式下提出各项。

$\sqrt{\frac{- 2187}{2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 8.3

将负号移到分数的前面。

$\sqrt{- \frac{2187}{2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 8.4

将 $\frac{2187}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{- (\frac{2187}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}$

解题步骤 8.5

合并和化简分母。

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解题步骤 8.5.1

将 $\frac{2187}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}}$

解题步骤 8.5.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}$

解题步骤 8.5.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}$

解题步骤 8.5.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}$

解题步骤 8.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

解题步骤 8.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}}$

解题步骤 8.5.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.5.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

解题步骤 8.5.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

解题步骤 8.5.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 8.5.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.7.4.1

约去公因数。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 8.5.7.4.2

重写表达式。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}}$

解题步骤 8.5.7.5

计算指数。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 8.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{4}}$

解题步骤 8.7

将 $- \frac{2187 \sqrt{2}}{4}$ 重写为 ${(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot (3 \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 8.7.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$\sqrt{i^{2} \frac{2187 \sqrt{2}}{4}}$

解题步骤 8.7.2

从 $2187 \sqrt{2}$ 中因式分解出完全幂数 $27^{2}$ 。

$\sqrt{i^{2} \frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{4}}$

解题步骤 8.7.3

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$\sqrt{i^{2} \frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 8.7.4

重新整理分数 $\frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{27}{2})}^{2} (3 \sqrt{2}))}$

解题步骤 8.7.5

将 $i^{2} {(\frac{27}{2})}^{2}$ 重写为 ${(\frac{27 i}{2})}^{2}$ 。

$\sqrt{{(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot 3 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.7.6

添加圆括号。

$\sqrt{{(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}$

解题步骤 8.8

从根式下提出各项。

$\frac{27 i}{2} \sqrt{3 \sqrt{2}}$

解题步骤 8.9

组合 $\frac{27 i}{2}$ 和 $\sqrt{3 \sqrt{2}}$ 。

$\frac{27 i \sqrt{3 \sqrt{2}}}{2}$

微积分学 示例

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