微积分学示例

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + 5}{6 x - 8}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} + 5}{6 x - 8}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{2} + 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{2} + lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{3 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

解题步骤 6

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{lim_{x \to 8} 6 x - lim_{x \to 8} 8}}$

解题步骤 8

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{6 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8}}$

解题步骤 9

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}}$

解题步骤 10

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 8^{2} + 5}{6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}}$

解题步骤 10.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 8^{2} + 5}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 64 + 5}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

解题步骤 11.2

将 $3$ 乘以 $64$ 。

$\sqrt[3]{\frac{192 + 5}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

解题步骤 11.3

将 $192$ 和 $5$ 相加。

$\sqrt[3]{\frac{197}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

解题步骤 11.4

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt[3]{\frac{197}{48 - 1 \cdot 8}}$

解题步骤 11.5

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt[3]{\frac{197}{48 - 8}}$

解题步骤 11.6

从 $48$ 中减去 $8$ 。

$\sqrt[3]{\frac{197}{40}}$

解题步骤 11.7

将 $\sqrt[3]{\frac{197}{40}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{40}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{40}}$

解题步骤 11.8

化简分母。

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解题步骤 11.8.1

将 $40$ 重写为 $2^{3} \cdot 5$ 。

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解题步骤 11.8.1.1

从 $40$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{8 (5)}}$

解题步骤 11.8.1.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 5}}$

解题步骤 11.8.2

从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}}$

解题步骤 11.9

将 $\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

解题步骤 11.10

合并和化简分母。

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解题步骤 11.10.1

将 $\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

解题步骤 11.10.2

移动 $\sqrt[3]{5}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 (\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2})}$

解题步骤 11.10.3

对 $\sqrt[3]{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 ({\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2})}$

解题步骤 11.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

解题步骤 11.10.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{5}}^{3}}$

解题步骤 11.10.6

将 ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 11.10.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 {(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 11.10.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 11.10.6.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 11.10.6.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.10.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 11.10.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{1}}$

解题步骤 11.10.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 11.11

化简分子。

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解题步骤 11.11.1

将 ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{5^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{197} \sqrt[3]{5^{2}}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 11.11.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt[3]{197} \sqrt[3]{25}}{2 \cdot 5}$

解题步骤 11.12

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt[3]{197} \sqrt[3]{25}}{10}$

解题步骤 11.13

化简分子。

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解题步骤 11.13.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt[3]{197 \cdot 25}}{10}$

解题步骤 11.13.2

将 $197$ 乘以 $25$ 。

$\frac{\sqrt[3]{4925}}{10}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt[3]{4925}}{10}$

小数形式：

$1.70138295 \dots$

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