微积分学示例

$lim_{x \to 8} (\frac{x}{6}) \cdot (e^{\frac{2}{x}} - 1)$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} \frac{x}{6} \cdot lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x}} - 1$

解题步骤 2

因为项 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x}} - 1$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x}} - lim_{x \to 8} 1)$

解题步骤 4

将极限移入指数中。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x}} - lim_{x \to 8} 1)$

解题步骤 5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}} - lim_{x \to 8} 1)$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} 1)$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} 1)$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{6} \cdot 8 \cdot (e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{6} \cdot 8 \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 8 \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4) \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.1.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4) \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.1.4

重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{3} \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.3

化简每一项。

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解题步骤 10.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4}{3} \cdot (e^{2 \frac{1}{2 (4)}} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.1.2

约去公因数。

$\frac{4}{3} \cdot (e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4}} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.1.3

重写表达式。

$\frac{4}{3} \cdot (e^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot (e^{\frac{1}{4}} - 1)$

解题步骤 10.4

运用分配律。

$\frac{4}{3} e^{\frac{1}{4}} + \frac{4}{3} \cdot - 1$

解题步骤 10.5

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $e^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 1$

解题步骤 10.6

乘以 $\frac{4}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 10.6.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{4 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 10.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

解题步骤 10.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

小数形式：

$0.37870055 \dots$

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