微积分学示例

$lim_{x \to 8} 7 x + 6 - 2 x^{3} \div 3 + 14 x + x^{2}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} 7 x + lim_{x \to 8} 6 - lim_{x \to 8} 2 x^{3} \div 3 + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

解题步骤 2

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$7 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 6 - lim_{x \to 8} 2 x^{3} \div 3 + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

解题步骤 3

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - lim_{x \to 8} 2 x^{3} \div 3 + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

解题步骤 6

因为项 $14$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x^{2}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

解题步骤 8

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

解题步骤 8.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

解题步骤 8.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 \cdot 8 + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

解题步骤 8.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$56 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

解题步骤 9.1.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$56 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 512 + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

解题步骤 9.1.3

乘以 $- \frac{2}{3} \cdot 512$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

将 $512$ 乘以 $- 1$ 。

$56 + 6 - 512 (\frac{2}{3}) + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

解题步骤 9.1.3.2

组合 $- 512$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$56 + 6 + \frac{- 512 \cdot 2}{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

解题步骤 9.1.3.3

将 $- 512$ 乘以 $2$ 。

$56 + 6 + \frac{- 1024}{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

解题步骤 9.1.4

将负号移到分数的前面。

$56 + 6 - \frac{1024}{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

解题步骤 9.1.5

将 $14$ 乘以 $8$ 。

$56 + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 8^{2}$

解题步骤 9.1.6

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$56 + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

解题步骤 9.2

求公分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $56$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{56}{1} + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

解题步骤 9.2.2

将 $\frac{56}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{56}{1} \cdot \frac{3}{3} + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

解题步骤 9.2.3

将 $\frac{56}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{56 \cdot 3}{3} + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

解题步骤 9.2.4

将 $6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

解题步骤 9.2.5

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

解题步骤 9.2.6

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

解题步骤 9.2.7

将 $112$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112}{1} + 64$

解题步骤 9.2.8

将 $\frac{112}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112}{1} \cdot \frac{3}{3} + 64$

解题步骤 9.2.9

将 $\frac{112}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + 64$

解题步骤 9.2.10

将 $64$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{64}{1}$

解题步骤 9.2.11

将 $\frac{64}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{64}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 9.2.12

将 $\frac{64}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{64 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.3

在公分母上合并分子。

$\frac{56 \cdot 3 + 6 \cdot 3 - 1024 + 112 \cdot 3 + 64 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.4

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1

将 $56$ 乘以 $3$ 。

$\frac{168 + 6 \cdot 3 - 1024 + 112 \cdot 3 + 64 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.4.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{168 + 18 - 1024 + 112 \cdot 3 + 64 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.4.3

将 $112$ 乘以 $3$ 。

$\frac{168 + 18 - 1024 + 336 + 64 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.4.4

将 $64$ 乘以 $3$ 。

$\frac{168 + 18 - 1024 + 336 + 192}{3}$

解题步骤 9.5

将 $168$ 和 $18$ 相加。

$\frac{186 - 1024 + 336 + 192}{3}$

解题步骤 9.6

从 $186$ 中减去 $1024$ 。

$\frac{- 838 + 336 + 192}{3}$

解题步骤 9.7

将 $- 838$ 和 $336$ 相加。

$\frac{- 502 + 192}{3}$

解题步骤 9.8

将 $- 502$ 和 $192$ 相加。

$\frac{- 310}{3}$

解题步骤 9.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{310}{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{310}{3}$

小数形式：

$- 103.\overline{3}$

微积分学 示例

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