微积分学示例

$lim_{x \to 5} (\frac{8^{3 x}}{x - 5}) + \frac{8^{15}}{x - 5}$

解题步骤 1

使用公分母合并分数。

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解题步骤 1.1

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 5} \frac{8^{3 x} + 8^{15}}{x - 5}$

解题步骤 1.2

化简分子。

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解题步骤 1.2.1

将 $8^{3 x}$ 重写为 ${(8^{x})}^{3}$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{{(8^{x})}^{3} + 8^{15}}{x - 5}$

解题步骤 1.2.2

将 $8^{15}$ 重写为 ${(8^{5})}^{3}$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{{(8^{x})}^{3} + {(8^{5})}^{3}}{x - 5}$

解题步骤 1.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 8^{x}$ 和 $b = 8^{5}$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 8^{5}) ({(8^{x})}^{2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

解题步骤 1.2.4

化简。

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解题步骤 1.2.4.1

对 $8$ 进行 $5$ 次方运算。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) ({(8^{x})}^{2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

解题步骤 1.2.4.2

将 ${(8^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{x \cdot 2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

解题步骤 1.2.4.3

通过指数相加将 $8^{x}$ 乘以 $8^{5}$ 。

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解题步骤 1.2.4.3.1

移动 $8^{5}$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - (8^{5} \cdot 8^{x}) + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

解题步骤 1.2.4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

解题步骤 1.2.4.4

将 ${(8^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 8^{5 \cdot 2})}{x - 5}$

解题步骤 1.2.4.4.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 8^{10})}{x - 5}$

解题步骤 1.2.4.5

对 $8$ 进行 $10$ 次方运算。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 1073741824)}{x - 5}$

解题步骤 1.2.4.6

重新排序项。

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} + 1073741824 - 8^{5 + x})}{x - 5}$

解题步骤 2

因为函数从左边趋于 $- \infty$ 且从右边趋于 $\infty$ ，所以极限不存在。

$不存在$

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