微积分学示例

$lim_{x \to 7} (x + \sqrt{x - 6}) (x^{2 - 2 x + 1})$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 7} x + \sqrt{x - 6} \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} \sqrt{x - 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

解题步骤 1.3

将极限移入根号内。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

解题步骤 1.4

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

解题步骤 1.5

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

解题步骤 1.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{- 2 x + 3}$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将 $x^{- 2 x + 3}$ 重写为 $e^{\ln (x^{- 2 x + 3})}$ 。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} e^{\ln (x^{- 2 x + 3})}$

解题步骤 2.2

通过将 $- 2 x + 3$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{- 2 x + 3})$ 。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} e^{(- 2 x + 3) \ln (x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

将极限移入指数中。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{lim_{x \to 7} (- 2 x + 3) \ln (x)}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{lim_{x \to 7} - 2 x + 3 \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $7$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- lim_{x \to 7} 2 x + lim_{x \to 7} 3) \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

解题步骤 3.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 3) \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

解题步骤 3.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $7$ 时此极限值为常数。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

解题步骤 3.6

将极限移入对数中。

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

解题步骤 4

将 $7$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(7 + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

解题步骤 4.2

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(7 + \sqrt{7 - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

解题步骤 4.3

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(7 + \sqrt{7 - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

解题步骤 4.4

将 $7$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(7 + \sqrt{7 - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$(7 + \sqrt{7 - 6}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

解题步骤 5.1.2

从 $7$ 中减去 $6$ 。

$(7 + \sqrt{1}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

解题步骤 5.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$(7 + 1) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

解题步骤 5.2

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$8 \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

解题步骤 5.3

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$8 \cdot e^{(- 14 + 3) \cdot \ln (7)}$

解题步骤 5.4

将 $- 14$ 和 $3$ 相加。

$8 e^{- 11 \ln (7)}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$8 e^{- 11 \ln (7)}$

小数形式：

$4.04586648 \cdot 10^{- 9}$

微积分学 示例

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