微积分学示例

$lim_{x \to 6} (13 x^{5} - 7 x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 92 x) - 6 \sqrt[3]{5 x}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $6$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 6} 13 x^{5} - lim_{x \to 6} 7 x^{4} + lim_{x \to 6} 2 x^{3} - lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 92 x - lim_{x \to 6} 6 \sqrt[3]{5 x}$

解题步骤 2

因为项 $13$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 lim_{x \to 6} x^{5} - lim_{x \to 6} 7 x^{4} + lim_{x \to 6} 2 x^{3} - lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 92 x - lim_{x \to 6} 6 \sqrt[3]{5 x}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

$13 {(lim_{x \to 6} x)}^{5} - lim_{x \to 6} 7 x^{4} + lim_{x \to 6} 2 x^{3} - lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 92 x - lim_{x \to 6} 6 \sqrt[3]{5 x}$

解题步骤 4

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 {(lim_{x \to 6} x)}^{5} - 7 lim_{x \to 6} x^{4} + lim_{x \to 6} 2 x^{3} - lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 92 x - lim_{x \to 6} 6 \sqrt[3]{5 x}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$13 {(lim_{x \to 6} x)}^{5} - 7 {(lim_{x \to 6} x)}^{4} + lim_{x \to 6} 2 x^{3} - lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 92 x - lim_{x \to 6} 6 \sqrt[3]{5 x}$

解题步骤 6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 {(lim_{x \to 6} x)}^{5} - 7 {(lim_{x \to 6} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 6} x^{3} - lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 92 x - lim_{x \to 6} 6 \sqrt[3]{5 x}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$13 {(lim_{x \to 6} x)}^{5} - 7 {(lim_{x \to 6} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 6} x)}^{3} - lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 92 x - lim_{x \to 6} 6 \sqrt[3]{5 x}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$13 {(lim_{x \to 6} x)}^{5} - 7 {(lim_{x \to 6} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 6} x)}^{3} - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} + lim_{x \to 6} 92 x - lim_{x \to 6} 6 \sqrt[3]{5 x}$

解题步骤 9

因为项 $92$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 {(lim_{x \to 6} x)}^{5} - 7 {(lim_{x \to 6} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 6} x)}^{3} - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 92 lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6 \sqrt[3]{5 x}$

解题步骤 10

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 {(lim_{x \to 6} x)}^{5} - 7 {(lim_{x \to 6} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 6} x)}^{3} - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 92 lim_{x \to 6} x - 6 lim_{x \to 6} \sqrt[3]{5 x}$

解题步骤 11

将极限移入根号内。

$13 {(lim_{x \to 6} x)}^{5} - 7 {(lim_{x \to 6} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 6} x)}^{3} - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 92 lim_{x \to 6} x - 6 \sqrt[3]{lim_{x \to 6} 5 x}$

解题步骤 12

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$13 {(lim_{x \to 6} x)}^{5} - 7 {(lim_{x \to 6} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 6} x)}^{3} - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 92 lim_{x \to 6} x - 6 \sqrt[3]{5 lim_{x \to 6} x}$

解题步骤 13

将 $6$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \cdot 6^{5} - 7 {(lim_{x \to 6} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 6} x)}^{3} - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 92 lim_{x \to 6} x - 6 \sqrt[3]{5 lim_{x \to 6} x}$

解题步骤 13.2

将 $6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \cdot 6^{5} - 7 \cdot 6^{4} + 2 {(lim_{x \to 6} x)}^{3} - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 92 lim_{x \to 6} x - 6 \sqrt[3]{5 lim_{x \to 6} x}$

解题步骤 13.3

将 $6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \cdot 6^{5} - 7 \cdot 6^{4} + 2 \cdot 6^{3} - {(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 92 lim_{x \to 6} x - 6 \sqrt[3]{5 lim_{x \to 6} x}$

解题步骤 13.4

将 $6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \cdot 6^{5} - 7 \cdot 6^{4} + 2 \cdot 6^{3} - 6^{2} + 92 lim_{x \to 6} x - 6 \sqrt[3]{5 lim_{x \to 6} x}$

解题步骤 13.5

将 $6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \cdot 6^{5} - 7 \cdot 6^{4} + 2 \cdot 6^{3} - 6^{2} + 92 \cdot 6 - 6 \sqrt[3]{5 lim_{x \to 6} x}$

解题步骤 13.6

将 $6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$13 \cdot 6^{5} - 7 \cdot 6^{4} + 2 \cdot 6^{3} - 6^{2} + 92 \cdot 6 - 6 \sqrt[3]{5 \cdot 6}$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

对 $6$ 进行 $5$ 次方运算。

$13 \cdot 7776 - 7 \cdot 6^{4} + 2 \cdot 6^{3} - 6^{2} + 92 \cdot 6 - 6 \sqrt[3]{5 \cdot 6}$

解题步骤 14.1.2

将 $13$ 乘以 $7776$ 。

$101088 - 7 \cdot 6^{4} + 2 \cdot 6^{3} - 6^{2} + 92 \cdot 6 - 6 \sqrt[3]{5 \cdot 6}$

解题步骤 14.1.3

对 $6$ 进行 $4$ 次方运算。

$101088 - 7 \cdot 1296 + 2 \cdot 6^{3} - 6^{2} + 92 \cdot 6 - 6 \sqrt[3]{5 \cdot 6}$

解题步骤 14.1.4

将 $- 7$ 乘以 $1296$ 。

$101088 - 9072 + 2 \cdot 6^{3} - 6^{2} + 92 \cdot 6 - 6 \sqrt[3]{5 \cdot 6}$

解题步骤 14.1.5

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$101088 - 9072 + 2 \cdot 216 - 6^{2} + 92 \cdot 6 - 6 \sqrt[3]{5 \cdot 6}$

解题步骤 14.1.6

将 $2$ 乘以 $216$ 。

$101088 - 9072 + 432 - 6^{2} + 92 \cdot 6 - 6 \sqrt[3]{5 \cdot 6}$

解题步骤 14.1.7

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$101088 - 9072 + 432 - 1 \cdot 36 + 92 \cdot 6 - 6 \sqrt[3]{5 \cdot 6}$

解题步骤 14.1.8

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$101088 - 9072 + 432 - 36 + 92 \cdot 6 - 6 \sqrt[3]{5 \cdot 6}$

解题步骤 14.1.9

将 $92$ 乘以 $6$ 。

$101088 - 9072 + 432 - 36 + 552 - 6 \sqrt[3]{5 \cdot 6}$

解题步骤 14.1.10

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$101088 - 9072 + 432 - 36 + 552 - 6 \sqrt[3]{30}$

解题步骤 14.2

从 $101088$ 中减去 $9072$ 。

$92016 + 432 - 36 + 552 - 6 \sqrt[3]{30}$

解题步骤 14.3

将 $92016$ 和 $432$ 相加。

$92448 - 36 + 552 - 6 \sqrt[3]{30}$

解题步骤 14.4

从 $92448$ 中减去 $36$ 。

$92412 + 552 - 6 \sqrt[3]{30}$

解题步骤 14.5

将 $92412$ 和 $552$ 相加。

$92964 - 6 \sqrt[3]{30}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$92964 - 6 \sqrt[3]{30}$

小数形式：

$92945.35660496 \dots$

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