微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{7 x^{2} + x \cdot \sin (x)}{3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 7 x^{2} + x \cdot \sin (x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 7 x^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

解题步骤 3

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

解题步骤 6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 3 - lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} \sin (7 x^{2})}$

解题步骤 8

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} \sin (7 x^{2})}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} \sin (7 x^{2})}$

解题步骤 10

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (lim_{x \to 8} 7 x^{2})}$

解题步骤 11

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (7 lim_{x \to 8} x^{2})}$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2})}$

解题步骤 13

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7 \cdot 8^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2})}$

解题步骤 13.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7 \cdot 8^{2} + 8 \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2})}$

解题步骤 13.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7 \cdot 8^{2} + 8 \cdot \sin (8)}{3 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2})}$

解题步骤 13.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7 \cdot 8^{2} + 8 \cdot \sin (8)}{3 - 8^{2} + \sin (7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2})}$

解题步骤 13.5

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7 \cdot 8^{2} + 8 \cdot \sin (8)}{3 - 8^{2} + \sin (7 \cdot 8^{2})}$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简分子。

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解题步骤 14.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{7 \cdot 64 + 8 \cdot \sin (8)}{3 - 8^{2} + \sin (7 \cdot 8^{2})}$

解题步骤 14.1.2

将 $7$ 乘以 $64$ 。

$\frac{448 + 8 \cdot \sin (8)}{3 - 8^{2} + \sin (7 \cdot 8^{2})}$

解题步骤 14.1.3

计算 $\sin (8)$ 。

$\frac{448 + 8 \cdot 0.1391731}{3 - 8^{2} + \sin (7 \cdot 8^{2})}$

解题步骤 14.1.4

将 $8$ 乘以 $0.1391731$ 。

$\frac{448 + 1.1133848}{3 - 8^{2} + \sin (7 \cdot 8^{2})}$

解题步骤 14.1.5

将 $448$ 和 $1.1133848$ 相加。

$\frac{449.1133848}{3 - 8^{2} + \sin (7 \cdot 8^{2})}$

解题步骤 14.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{449.1133848}{3 - 1 \cdot 64 + \sin (7 \cdot 8^{2})}$

解题步骤 14.2.2

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$\frac{449.1133848}{3 - 64 + \sin (7 \cdot 8^{2})}$

解题步骤 14.2.3

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{449.1133848}{3 - 64 + \sin (7 \cdot 64)}$

解题步骤 14.2.4

将 $7$ 乘以 $64$ 。

$\frac{449.1133848}{3 - 64 + \sin (448)}$

解题步骤 14.2.5

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$\frac{449.1133848}{3 - 64 + \sin (88)}$

解题步骤 14.2.6

计算 $\sin (88)$ 。

$\frac{449.1133848}{3 - 64 + 0.99939082}$

解题步骤 14.2.7

从 $3$ 中减去 $64$ 。

$\frac{449.1133848}{- 61 + 0.99939082}$

解题步骤 14.2.8

将 $- 61$ 和 $0.99939082$ 相加。

$\frac{449.1133848}{- 60.00060917}$

解题步骤 14.3

用 $449.1133848$ 除以 $- 60.00060917$ 。

$- 7.48514708$

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