微积分学示例

$lim_{x \to - 8} \frac{4 e^{x} - e^{- x}}{e^{x} - 5 e^{- x}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

解题步骤 3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

解题步骤 4

将极限移入指数中。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

解题步骤 5

将极限移入指数中。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{lim_{x \to - 8} - x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

解题步骤 6

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

解题步骤 8

将极限移入指数中。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

解题步骤 9

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 lim_{x \to - 8} e^{- x}}$

解题步骤 10

将极限移入指数中。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{lim_{x \to - 8} - x}}$

解题步骤 11

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

解题步骤 12

将 $- 8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 e^{- 8} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

解题步骤 12.2

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

解题步骤 12.3

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

解题步骤 12.4

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

将 $4 e^{- 8}$ 重写为 ${(2 e^{- 4})}^{2}$ 。

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.2

将 $e^{8}$ 重写为 ${(e^{4})}^{2}$ 。

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - {(e^{4})}^{2}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 e^{- 4}$ 和 $b = e^{4}$ 。

$\frac{(2 e^{- 4} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.4

化简。

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解题步骤 13.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(2 \frac{1}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.4.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 \frac{1}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.4.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.5

要将 $e^{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ 。

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + \frac{e^{4} e^{4}}{e^{4}}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 + e^{4} e^{4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.7

通过指数相加将 $e^{4}$ 乘以 $e^{4}$ 。

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解题步骤 13.1.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 + e^{4 + 4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.7.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.8

要将 $- e^{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ 。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4} \cdot \frac{e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.9

组合 $- e^{4}$ 和 $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ 。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} + \frac{- e^{4} e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.10

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4} e^{4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.11

通过指数相加将 $e^{4}$ 乘以 $e^{4}$ 。

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解题步骤 13.1.11.1

移动 $e^{4}$ 。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - (e^{4} e^{4})}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4 + 4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.1.11.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8}}$

解题步骤 13.2.2

要将 $- 5 e^{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ 。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8} \cdot \frac{e^{8}}{e^{8}}}$

解题步骤 13.2.3

组合 $- 5 e^{8}$ 和 $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ 。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} + \frac{- 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

解题步骤 13.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

解题步骤 13.2.5

通过指数相加将 $e^{8}$ 乘以 $e^{8}$ 。

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解题步骤 13.2.5.1

移动 $e^{8}$ 。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 (e^{8} e^{8})}{e^{8}}}$

解题步骤 13.2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8 + 8}}{e^{8}}}$

解题步骤 13.2.5.3

将 $8$ 和 $8$ 相加。

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

解题步骤 13.3

将 $\frac{2 + e^{8}}{e^{4}}$ 乘以 $\frac{2 - e^{8}}{e^{4}}$ 。

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4} e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

解题步骤 13.4

通过指数相加将 $e^{4}$ 乘以 $e^{4}$ 。

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解题步骤 13.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4 + 4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

解题步骤 13.4.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

解题步骤 13.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.6

约去 $e^{8}$ 的公因数。

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解题步骤 13.6.1

约去公因数。

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.6.2

重写表达式。

$(2 + e^{8}) (2 - e^{8}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.7

使用 FOIL 方法展开 $(2 + e^{8}) (2 - e^{8})$ 。

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解题步骤 13.7.1

运用分配律。

$(2 (2 - e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.7.2

运用分配律。

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.7.3

运用分配律。

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.8.1

化简每一项。

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解题步骤 13.8.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(4 - 2 e^{8} + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.8.1.3

将 $2$ 移到 $e^{8}$ 的左侧。

$(4 - 2 e^{8} + 2 \cdot e^{8} + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.8.1.4

通过指数相加将 $e^{8}$ 乘以 $e^{8}$ 。

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解题步骤 13.8.1.4.1

移动 $e^{8}$ 。

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8} e^{8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.8.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8 + 8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.8.1.4.3

将 $8$ 和 $8$ 相加。

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{16} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.8.1.5

将 $- 1$ 移到 $e^{16}$ 的左侧。

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - 1 \cdot e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.8.1.6

将 $- 1 e^{16}$ 重写为 $- e^{16}$ 。

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.8.2

将 $- 2 e^{8}$ 和 $2 e^{8}$ 相加。

$(4 + 0 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.8.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$(4 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.9

运用分配律。

$4 \frac{1}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.10

组合 $4$ 和 $\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ 。

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.11

组合 $\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ 和 $e^{16}$ 。

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - \frac{e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.12

在公分母上合并分子。

$\frac{4 - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.13

化简分子。

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解题步骤 13.13.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2^{2} - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.13.2

将 $e^{16}$ 重写为 ${(e^{8})}^{2}$ 。

$\frac{2^{2} - {(e^{8})}^{2}}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 13.13.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = e^{8}$ 。

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

小数形式：

$0.19999991 \dots$

微积分学 示例

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