微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{3 + 5 e^{x}}{\frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 3 + 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 3 + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 3

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 5 lim_{x \to 8} e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 5

将极限移入指数中。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 5 e^{x}}{\frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 3 x + 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 8

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5 e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 9

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 lim_{x \to 8} e^{x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 10

将极限移入指数中。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \frac{7 + 6 e^{2 x}}{7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 11

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 7 + 6 e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 12

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 13

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + lim_{x \to 8} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 14

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 lim_{x \to 8} e^{2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 15

将极限移入指数中。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{lim_{x \to 8} 2 x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 16

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 7 x + 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 17

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 7 x + lim_{x \to 8} 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 18

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3 e^{2 x}}}}$

解题步骤 19

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} e^{2 x}}}}$

解题步骤 20

将极限移入指数中。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{lim_{x \to 8} 2 x}}}}$

解题步骤 21

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

解题步骤 22

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 22.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

解题步骤 22.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{lim_{x \to 8} x}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

解题步骤 22.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 lim_{x \to 8} x}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

解题步骤 22.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 lim_{x \to 8} x + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

解题步骤 22.5

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x}}}}$

解题步骤 22.6

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 + 5 e^{8}}{\frac{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 \cdot 8}}}}$

解题步骤 23

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.1

将分子乘以分母的倒数。

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{2 \cdot 8}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 \cdot 8}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

解题步骤 23.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{7 \cdot 8 + 3 e^{2 \cdot 8}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

解题步骤 23.3

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.3.1

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{2 \cdot 8}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

解题步骤 23.3.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}}}{3 \cdot 8 + 5 e^{8}}$

解题步骤 23.4

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$(3 + 5 e^{8}) \frac{\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}}}{24 + 5 e^{8}}$

解题步骤 23.5

将分子乘以分母的倒数。

$(3 + 5 e^{8}) (\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}} \cdot \frac{1}{24 + 5 e^{8}})$

解题步骤 23.6

将 $\frac{7 + 6 e^{16}}{56 + 3 e^{16}}$ 乘以 $\frac{1}{24 + 5 e^{8}}$ 。

$(3 + 5 e^{8}) \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.7

运用分配律。

$3 \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + 5 e^{8} \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.8

组合 $3$ 和 $\frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ 。

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + 5 e^{8} \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.9

乘以 $5 e^{8} \frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.9.1

组合 $\frac{7 + 6 e^{16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ 和 $5$ 。

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + \frac{(7 + 6 e^{16}) \cdot 5}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} e^{8}$

解题步骤 23.9.2

组合 $\frac{(7 + 6 e^{16}) \cdot 5}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$ 和 $e^{8}$ 。

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + \frac{(7 + 6 e^{16}) \cdot 5 e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.10

将 $5$ 移到 $7 + 6 e^{16}$ 的左侧。

$\frac{3 (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})} + \frac{5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.11

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (7 + 6 e^{16}) + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.12.1

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 7 + 3 (6 e^{16}) + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.2

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{21 + 3 (6 e^{16}) + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.3

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{21 + 18 e^{16} + 5 (7 + 6 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.4

运用分配律。

$\frac{21 + 18 e^{16} + (5 \cdot 7 + 5 (6 e^{16})) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.5

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$\frac{21 + 18 e^{16} + (35 + 5 (6 e^{16})) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.6

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$\frac{21 + 18 e^{16} + (35 + 30 e^{16}) e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.7

运用分配律。

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{16} e^{8}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.8

通过指数相加将 $e^{16}$ 乘以 $e^{8}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.12.8.1

移动 $e^{8}$ 。

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 (e^{8} e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{8 + 16}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.8.3

将 $8$ 和 $16$ 相加。

$\frac{21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{24}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.9

以因式分解的形式重写 $21 + 18 e^{16} + 35 e^{8} + 30 e^{24}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.12.9.1

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 23.12.9.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(21 + 18 e^{16}) + 35 e^{8} + 30 e^{24}}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.9.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{3 (7 + 6 e^{16}) + 5 e^{8} (7 + 6 e^{16})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 23.12.9.2

通过因式分解出最大公因数 $7 + 6 e^{16}$ 来因式分解多项式。

$\frac{(7 + 6 e^{16}) (3 + 5 e^{8})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

解题步骤 24

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{(7 + 6 e^{16}) (3 + 5 e^{8})}{(56 + 3 e^{16}) (24 + 5 e^{8})}$

小数形式：

$1.99718271 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例