微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

解题步骤 1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$3 \frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{\frac{3}{2}}$ 的指数 $\frac{3}{2}$ 移到极限外。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + 4}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 4 x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

解题步骤 5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{\frac{3}{2}}$ 的指数 $\frac{3}{2}$ 移到极限外。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 4}$

解题步骤 7

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 4}$

解题步骤 8

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 4}$

解题步骤 8.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 4}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

乘以 $4 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 9.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 4}$

解题步骤 9.1.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} + 4}$

解题步骤 9.1.3

将 ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} + 4}$

解题步骤 9.1.3.2

乘以 $3 (\frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 9.1.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} + 4}$

解题步骤 9.1.3.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 4}$

解题步骤 9.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2 + \frac{9}{2}} + 4}$

解题步骤 9.1.5

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}} + 4}$

解题步骤 9.1.6

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}} + 4}$

解题步骤 9.1.7

在公分母上合并分子。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 9}{2}} + 4}$

解题步骤 9.1.8

化简分子。

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解题步骤 9.1.8.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{4 + 9}{2}} + 4}$

解题步骤 9.1.8.2

将 $4$ 和 $9$ 相加。

$3 \frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

解题步骤 9.2

组合 $3$ 和 $\frac{8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$ 。

$\frac{3 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{13}{2}} + 4}$

小数形式：

$0.71825721 \dots$

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