微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{3 e^{- x}}{\ln (1 + 7 e^{- x})}$

解题步骤 1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 lim_{x \to 8} \frac{e^{- x}}{\ln (1 + 7 e^{- x})}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$3 \frac{lim_{x \to 8} e^{- x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

解题步骤 3

将极限移入指数中。

$3 \frac{e^{lim_{x \to 8} - x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

解题步骤 4

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

解题步骤 5

将极限移入对数中。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (lim_{x \to 8} 1 + 7 e^{- x})}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 7 e^{- x})}$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + lim_{x \to 8} 7 e^{- x})}$

解题步骤 8

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 lim_{x \to 8} e^{- x})}$

解题步骤 9

将极限移入指数中。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 e^{lim_{x \to 8} - x})}$

解题步骤 10

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 e^{- lim_{x \to 8} x})}$

解题步骤 11

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{e^{- 8}}{\ln (1 + 7 e^{- lim_{x \to 8} x})}$

解题步骤 11.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \frac{e^{- 8}}{\ln (1 + 7 e^{- 8})}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 8}$ 移动到分母。

$3 \frac{1}{\ln (1 + 7 e^{- 8}) e^{8}}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 \frac{1}{\ln (1 + 7 \frac{1}{e^{8}}) e^{8}}$

解题步骤 12.2.1.2

组合 $7$ 和 $\frac{1}{e^{8}}$ 。

$3 \frac{1}{\ln (1 + \frac{7}{e^{8}}) e^{8}}$

解题步骤 12.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$3 \frac{1}{\ln (\frac{e^{8}}{e^{8}} + \frac{7}{e^{8}}) e^{8}}$

解题步骤 12.2.3

在公分母上合并分子。

$3 \frac{1}{\ln (\frac{e^{8} + 7}{e^{8}}) e^{8}}$

解题步骤 12.2.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{8}$ 移动到分子。

$3 \frac{1}{\ln ((e^{8} + 7) e^{- 8}) e^{8}}$

解题步骤 12.2.5

将 $\ln ((e^{8} + 7) e^{- 8})$ 重写为 $\ln (e^{8} + 7) + \ln (e^{- 8})$ 。

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) + \ln (e^{- 8})) e^{8}}$

解题步骤 12.2.6

使用对数规则把 $- 8$ 移到指数外部。

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8 \ln (e)) e^{8}}$

解题步骤 12.2.7

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8 \cdot 1) e^{8}}$

解题步骤 12.2.8

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$

解题步骤 12.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$ 。

$\frac{3}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$

解题步骤 12.4

将 $\frac{3}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{3}{e^{8} (\ln (e^{8} + 7) - 8)}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{e^{8} (\ln (e^{8} + 7) - 8)}$

小数形式：

$0.42907442 \dots$

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