微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{x}}{4 - (\frac{16}{x})}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}} + lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{\frac{2}{3}}$ 的指数 $\frac{2}{3}$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

解题步骤 5

将极限移入根号内。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 - lim_{x \to 8} \frac{16}{x}}$

解题步骤 7

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - lim_{x \to 8} \frac{16}{x}}$

解题步骤 8

因为项 $16$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 11

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 11.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

解题步骤 11.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 12.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2^{3 (\frac{2}{3})} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 12.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.3.1

约去公因数。

$\frac{2^{3 (\frac{2}{3})} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 12.1.3.2

重写表达式。

$\frac{2^{2} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 12.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 12.1.5

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 12.1.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 + 3 \sqrt{4 (2)}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 12.1.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{4 + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 12.1.6

从根式下提出各项。

$\frac{4 + 3 (2 \sqrt{2})}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 12.1.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 + 8 (- 2) \frac{1}{8}}$

解题步骤 12.2.1.2

约去公因数。

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 + 8 \cdot - 2 \frac{1}{8}}$

解题步骤 12.2.1.3

重写表达式。

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 - 2}$

解题步骤 12.2.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 12.3

约去 $4 + 6 \sqrt{2}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2 + 6 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 12.3.2

从 $6 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (3 \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 12.3.3

从 $2 (2) + 2 (3 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 12.3.4

约去公因数。

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解题步骤 12.3.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 12.3.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.3.4.3

重写表达式。

$\frac{2 + 3 \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 12.3.4.4

用 $2 + 3 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$2 + 3 \sqrt{2}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 + 3 \sqrt{2}$

小数形式：

$6.24264068 \dots$

微积分学 示例

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