微积分学示例

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt{5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} 5 x^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

解题步骤 4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{5 lim_{x \to - 8} x^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - lim_{x \to - 8} \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

解题步骤 6

计算 $\frac{1}{4}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{lim_{x \to - 8} - 12 - \frac{2}{3} x^{8}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- lim_{x \to - 8} 12 - lim_{x \to - 8} \frac{2}{3} x^{8}}$

解题步骤 8

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 1 \cdot 12 - lim_{x \to - 8} \frac{2}{3} x^{8}}$

解题步骤 9

因为项 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} lim_{x \to - 8} x^{8}}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $x^{8}$ 的指数 $8$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to - 8} x)}^{8}}$

解题步骤 11

将 $- 8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{5 {(- 8)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to - 8} x)}^{8}}$

解题步骤 11.2

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{5 {(- 8)}^{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

对 $- 8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{5 \cdot 4096 - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

解题步骤 12.1.2

将 $5$ 乘以 $4096$ 。

$\frac{\sqrt{20480 - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

解题步骤 12.1.3

要将 $20480$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\sqrt{20480 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

解题步骤 12.1.4

组合 $20480$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{20480 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

解题步骤 12.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{\frac{20480 \cdot 4 - 1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

解题步骤 12.1.6

化简分子。

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解题步骤 12.1.6.1

将 $20480$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{81920 - 1}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

解题步骤 12.1.6.2

从 $81920$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{81919}{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

解题步骤 12.1.7

将 $\sqrt{\frac{81919}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{4}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

解题步骤 12.1.8

化简分母。

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解题步骤 12.1.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{\sqrt{2^{2}}}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

解题步骤 12.1.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{2}{3} {(- 8)}^{8}}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

对 $- 8$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{2}{3} \cdot 16777216}$

解题步骤 12.2.2

乘以 $- \frac{2}{3} \cdot 16777216$ 。

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解题步骤 12.2.2.1

将 $16777216$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - 16777216 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 12.2.2.2

组合 $- 16777216$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 + \frac{- 16777216 \cdot 2}{3}}$

解题步骤 12.2.2.3

将 $- 16777216$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 + \frac{- 33554432}{3}}$

解题步骤 12.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 - \frac{33554432}{3}}$

解题步骤 12.2.4

要将 $- 12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- 12 \cdot \frac{3}{3} - \frac{33554432}{3}}$

解题步骤 12.2.5

组合 $- 12$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 12 \cdot 3}{3} - \frac{33554432}{3}}$

解题步骤 12.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 12 \cdot 3 - 33554432}{3}}$

解题步骤 12.2.7

化简分子。

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解题步骤 12.2.7.1

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 36 - 33554432}{3}}$

解题步骤 12.2.7.2

从 $- 36$ 中减去 $33554432$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{\frac{- 33554468}{3}}$

解题步骤 12.2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{\sqrt{81919}}{2}}{- \frac{33554468}{3}}$

解题步骤 12.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{81919}}{2} (- \frac{3}{33554468})$

解题步骤 12.4

乘以 $\frac{\sqrt{81919}}{2} (- \frac{3}{33554468})$ 。

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解题步骤 12.4.1

将 $\frac{\sqrt{81919}}{2}$ 乘以 $\frac{3}{33554468}$ 。

$- \frac{\sqrt{81919} \cdot 3}{2 \cdot 33554468}$

解题步骤 12.4.2

将 $2$ 乘以 $33554468$ 。

$- \frac{\sqrt{81919} \cdot 3}{67108936}$

解题步骤 12.5

将 $3$ 移到 $\sqrt{81919}$ 的左侧。

$- \frac{3 \sqrt{81919}}{67108936}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3 \sqrt{81919}}{67108936}$

小数形式：

$- 1.27947917 \cdot 10^{- 5}$

微积分学 示例

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