微积分学示例

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 64}}{3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{6}$ 的指数 $6$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

解题步骤 5

计算 $64$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

解题步骤 7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

解题步骤 9

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + 16}}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $- 8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

解题步骤 11

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 lim_{x \to - 8} x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

解题步骤 13

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

解题步骤 14

将 $- 8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

解题步骤 14.2

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

解题步骤 14.3

将 $- 8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

对 $- 8$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{\sqrt[3]{262144 + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

解题步骤 15.1.2

将 $262144$ 和 $64$ 相加。

$\frac{\sqrt[3]{262208}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

解题步骤 15.1.3

将 $262208$ 重写为 $4^{3} \cdot 4097$ 。

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解题步骤 15.1.3.1

从 $262208$ 中分解出因数 $64$ 。

$\frac{\sqrt[3]{64 (4097)}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

解题步骤 15.1.3.2

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

解题步骤 15.1.4

从根式下提出各项。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

解题步骤 15.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 \cdot 64 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

解题步骤 15.2.2

将 $3$ 乘以 $64$ 。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

解题步骤 15.2.3

对 $- 8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 \cdot 4096 + 16}}$

解题步骤 15.2.4

将 $2$ 乘以 $4096$ 。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8192 + 16}}$

解题步骤 15.2.5

将 $8192$ 和 $16$ 相加。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8208}}$

解题步骤 15.2.6

将 $8208$ 重写为 $12^{2} \cdot 57$ 。

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解题步骤 15.2.6.1

从 $8208$ 中分解出因数 $144$ 。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{144 (57)}}$

解题步骤 15.2.6.2

将 $144$ 重写为 $12^{2}$ 。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{12^{2} \cdot 57}}$

解题步骤 15.2.7

从根式下提出各项。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + 12 \sqrt{57}}$

解题步骤 15.3

约去 $4$ 和 $192 + 12 \sqrt{57}$ 的公因数。

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解题步骤 15.3.1

从 $4 \sqrt[3]{4097}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (\sqrt[3]{4097})}{192 + 12 \sqrt{57}}$

解题步骤 15.3.2

约去公因数。

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解题步骤 15.3.2.1

从 $192$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 12 \sqrt{57}}$

解题步骤 15.3.2.2

从 $12 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 4 (3 \sqrt{57})}$

解题步骤 15.3.2.3

从 $4 (48) + 4 (3 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

解题步骤 15.3.2.4

约去公因数。

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

解题步骤 15.3.2.5

重写表达式。

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$

解题步骤 15.4

将 $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ 乘以 $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$

解题步骤 15.5

将 $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ 乘以 $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{(48 + 3 \sqrt{57}) (48 - 3 \sqrt{57})}$

解题步骤 15.6

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{2304 - 144 \sqrt{57} + 144 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

解题步骤 15.7

化简。

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{1791}$

解题步骤 15.8

约去 $48 - 3 \sqrt{57}$ 和 $1791$ 的公因数。

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解题步骤 15.8.1

从 $\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{1791}$

解题步骤 15.8.2

约去公因数。

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解题步骤 15.8.2.1

从 $1791$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 (597)}$

解题步骤 15.8.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 \cdot 597}$

解题步骤 15.8.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

小数形式：

$0.22648852 \dots$

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