微积分学示例

$lim_{x \to 8} \frac{x^{101} + 9^{x} - e^{\sqrt{x}}}{2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} x^{101} + 9^{x} - e^{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} x^{101} + lim_{x \to 8} 9^{x} - lim_{x \to 8} e^{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{101}$ 的指数 $101$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + lim_{x \to 8} 9^{x} - lim_{x \to 8} e^{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

解题步骤 4

将极限移入指数中。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} e^{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

解题步骤 5

将极限移入指数中。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

解题步骤 6

将极限移入根号内。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - lim_{x \to 8} 10^{6} \sin (x) + lim_{x \to 8} x^{25}}$

解题步骤 8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 lim_{x \to 8} 9^{x} - lim_{x \to 8} 10^{6} \sin (x) + lim_{x \to 8} x^{25}}$

解题步骤 9

将极限移入指数中。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \cdot 9^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 10^{6} \sin (x) + lim_{x \to 8} x^{25}}$

解题步骤 10

因为项 $10^{6}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \cdot 9^{lim_{x \to 8} x} - 10^{6} lim_{x \to 8} \sin (x) + lim_{x \to 8} x^{25}}$

解题步骤 11

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \cdot 9^{lim_{x \to 8} x} - 10^{6} \sin (lim_{x \to 8} x) + lim_{x \to 8} x^{25}}$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $x^{25}$ 的指数 $25$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \cdot 9^{lim_{x \to 8} x} - 10^{6} \sin (lim_{x \to 8} x) + {(lim_{x \to 8} x)}^{25}}$

解题步骤 13

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \cdot 9^{lim_{x \to 8} x} - 10^{6} \sin (lim_{x \to 8} x) + {(lim_{x \to 8} x)}^{25}}$

解题步骤 13.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8^{101} + 9^{8} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \cdot 9^{lim_{x \to 8} x} - 10^{6} \sin (lim_{x \to 8} x) + {(lim_{x \to 8} x)}^{25}}$

解题步骤 13.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8^{101} + 9^{8} - e^{\sqrt{8}}}{2 \cdot 9^{lim_{x \to 8} x} - 10^{6} \sin (lim_{x \to 8} x) + {(lim_{x \to 8} x)}^{25}}$

解题步骤 13.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8^{101} + 9^{8} - e^{\sqrt{8}}}{2 \cdot 9^{8} - 10^{6} \sin (lim_{x \to 8} x) + {(lim_{x \to 8} x)}^{25}}$

解题步骤 13.5

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8^{101} + 9^{8} - e^{\sqrt{8}}}{2 \cdot 9^{8} - 10^{6} \sin (8) + {(lim_{x \to 8} x)}^{25}}$

解题步骤 13.6

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8^{101} + 9^{8} - e^{\sqrt{8}}}{2 \cdot 9^{8} - 10^{6} \sin (8) + 8^{25}}$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简分子。

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解题步骤 14.1.1

对 $9$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{\sqrt{8}}}{2 \cdot 9^{8} - 10^{6} \sin (8) + 8^{25}}$

解题步骤 14.1.2

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 14.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{\sqrt{4 (2)}}}{2 \cdot 9^{8} - 10^{6} \sin (8) + 8^{25}}$

解题步骤 14.1.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 9^{8} - 10^{6} \sin (8) + 8^{25}}$

解题步骤 14.1.3

从根式下提出各项。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 9^{8} - 10^{6} \sin (8) + 8^{25}}$

解题步骤 14.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.1

对 $9$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 43046721 - 10^{6} \sin (8) + 8^{25}}$

解题步骤 14.2.2

将 $2$ 乘以 $43046721$ 。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{2 \sqrt{2}}}{86093442 - 10^{6} \sin (8) + 8^{25}}$

解题步骤 14.2.3

对 $10$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{2 \sqrt{2}}}{86093442 - 1 \cdot 1000000 \sin (8) + 8^{25}}$

解题步骤 14.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1000000$ 。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{2 \sqrt{2}}}{86093442 - 1000000 \sin (8) + 8^{25}}$

解题步骤 14.2.5

计算 $\sin (8)$ 。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{2 \sqrt{2}}}{86093442 - 1000000 \cdot 0.1391731 + 8^{25}}$

解题步骤 14.2.6

将 $- 1000000$ 乘以 $0.1391731$ 。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{2 \sqrt{2}}}{86093442 - 139173.10096006 + 8^{25}}$

解题步骤 14.2.7

对 $8$ 进行 $25$ 次方运算。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{2 \sqrt{2}}}{86093442 - 139173.10096006 + 37778931862957200000000}$

解题步骤 14.2.8

从 $86093442$ 中减去 $139173.10096006$ 。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{2 \sqrt{2}}}{85954268.89903993 + 37778931862957200000000}$

解题步骤 14.2.9

将 $85954268.89903993$ 和 $37778931862957200000000$ 相加。

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{2 \sqrt{2}}}{37778931862957285954268.89904}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{8^{101} + 43046721 - e^{2 \sqrt{2}}}{37778931862957285954268.89904}$

小数形式：

$4.31359146 \cdot 10^{68}$

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